Theorem cmpcref 29917

Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cmpcref	|- Comp = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref

Dummy variables f j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P y i^i Fin ) )
2		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
4	3	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P y )
5		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P y -> x C_ y )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ y )
7		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P j -> y C_ j )
8	7	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> y C_ j )
9	6, 8	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ j )
10		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P j <-> x C_ j )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P j )
12	3	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. Fin )
13	11, 12	elind 3798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P j i^i Fin ) )
14		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. x )
15		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. y )
16	14, 15	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. x = U. y )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U. x
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. y = U. y
19	17, 18	ssref 21315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P j /\ x C_ y /\ U. x = U. y ) -> x Ref y )
20	11, 6, 16, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x Ref y )
21		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z Ref y <-> x Ref y ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P j i^i Fin ) /\ x Ref y ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
23	13, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
24	23	r19.29an 3077	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
25		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> z e. ( ~P j i^i Fin ) )
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. z = U. z
28	27, 18	isref 21312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. _V -> ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) )
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) )
30	29	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( z Ref y -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
32		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u C_ v <-> u C_ ( f ` u ) ) )
33	32	ac6sg 9310	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> ( A. u e. z E. v e. y u C_ v -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) )
34	25, 31, 33	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) )
35		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f : z --> y )
36		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : z --> y -> ran f C_ y )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f C_ y )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
39	38	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran f e. _V
40	39	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran f e. ~P y <-> ran f C_ y )
41	37, 40	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ~P y )
42		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : z --> y -> f Fn z )
43	35, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f Fn z )
44		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) <-> ( z e. ~P j /\ z e. Fin ) )
45	44	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> z e. Fin )
47		fnfi 8238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn z /\ z e. Fin ) -> f e. Fin )
48	43, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f e. Fin )
49		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. Fin )
51	41, 50	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ( ~P y i^i Fin ) )
52		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. y )
53	27, 18	refbas 21313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z Ref y -> U. y = U. z )
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. z )
55		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y )
56		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u A. u e. z u C_ ( f ` u )
57	55, 56	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ u ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) )
58		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. u e. z u C_ ( f ` u ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
59	58	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
60	59	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( u e. z -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) )
62	57, 61	reximdai 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( E. u e. z x e. u -> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
63		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) )
65		fnunirn 6511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn z -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
66	43, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
67	62, 64, 66	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z -> x e. U. ran f ) )
68	67	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. z C_ U. ran f )
69	54, 68	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y C_ U. ran f )
70	37	unissd 4462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. ran f C_ U. y )
71	69, 70	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. ran f )
72	52, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. ran f )
73		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ran f -> U. x = U. ran f )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ran f -> ( U. j = U. x <-> U. j = U. ran f ) )
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran f e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. j = U. ran f ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
76	51, 72, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
77	76	expl 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
78	77	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
79	34, 78	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
80	79	r19.29an 3077	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
81	24, 80	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) -> ( E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x <-> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) )
82	81	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) -> ( ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
83	82	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( j e. Top -> ( A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
84	83	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
85		eqid 2622	. . . 4 |- U. j = U. j
86	85	iscmp 21191	. . 3 |- ( j e. Comp <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) )
87	85	iscref 29911	. . 3 |- ( j e. CovHasRef Fin <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4i 292	. 2 |- ( j e. Comp <-> j e. CovHasRef Fin )
89	88	eqriv 2619	1 |- Comp = CovHasRef Fin

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189   Refcref 21305  CovHasRefccref 29909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-cmp 21190  df-ref 21308  df-cref 29910

This theorem is referenced by:  cmpfiref  29918  cmppcmp  29925