Theorem cmppcmp 29925

Description: Every compact space is paracompact. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cmppcmp	|- ( J e. Comp -> J e. Paracomp )

Proof of Theorem cmppcmp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmptop 21198	. 2 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
2		cmpcref 29917	. . . . . 6 |- Comp = CovHasRef Fin
3	2	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( J e. Comp <-> J e. CovHasRef Fin )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	iscref 29911	. . . . 5 |- ( J e. CovHasRef Fin <-> ( J e. Top /\ A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y ) ) )
6	3, 5	bitri 264	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y ) ) )
7	6	simprbi 480	. . 3 |- ( J e. Comp -> A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y ) )
8		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z e. ( ~P J i^i Fin ) )
9		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( z e. ~P J /\ z e. Fin ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> ( z e. ~P J /\ z e. Fin ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z e. ~P J )
12	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> J e. Top )
13	10	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z e. Fin )
14		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> U. J = U. y )
15		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z Ref y )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. z = U. z
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. y = U. y
18	16, 17	refbas 21313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z Ref y -> U. y = U. z )
19	15, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> U. y = U. z )
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> U. J = U. z )
21	4, 16	finlocfin 21323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ z e. Fin /\ U. J = U. z ) -> z e. ( LocFin ` J ) )
22	12, 13, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z e. ( LocFin ` J ) )
23	11, 22	elind 3798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) )
24	23, 15	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) /\ ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) ) -> ( z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) /\ z Ref y ) )
25	24	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) -> ( ( z e. ( ~P J i^i Fin ) /\ z Ref y ) -> ( z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) /\ z Ref y ) ) )
26	25	reximdv2 3014	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) /\ U. J = U. y ) -> ( E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) )
27	26	ex 450	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) -> ( U. J = U. y -> ( E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) ) )
28	27	a2d 29	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ y e. ~P J ) -> ( ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y ) -> ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) ) )
29	28	ralimdva 2962	. . 3 |- ( J e. Comp -> ( A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) z Ref y ) -> A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) ) )
30	7, 29	mpd 15	. 2 |- ( J e. Comp -> A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) )
31		ispcmp 29924	. . 3 |- ( J e. Paracomp <-> J e. CovHasRef ( LocFin ` J ) )
32	4	iscref 29911	. . 3 |- ( J e. CovHasRef ( LocFin ` J ) <-> ( J e. Top /\ A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) ) )
33	31, 32	bitri 264	. 2 |- ( J e. Paracomp <-> ( J e. Top /\ A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P J i^i ( LocFin ` J ) ) z Ref y ) ) )
34	1, 30, 33	sylanbrc 698	1 |- ( J e. Comp -> J e. Paracomp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189   Refcref 21305   LocFinclocfin 21307  CovHasRefccref 29909  Paracompcpcmp 29922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-top 20699  df-cmp 21190  df-ref 21308  df-locfin 21310  df-cref 29910  df-pcmp 29923

This theorem is referenced by: (None)