Theorem dirkercncflem4 40323

Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkercncflem4.d	|- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkercncflem4.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkercncflem4.y	|- ( ph -> Y e. RR )
dirkercncflem4.ymod0	|- ( ph -> ( Y mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
dirkercncflem4.a	|- A = ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
dirkercncflem4.b	|- B = ( A + 1 )
dirkercncflem4.c	|- C = ( A x. ( 2 x. pi ) )
dirkercncflem4.e	|- E = ( B x. ( 2 x. pi ) )

Assertion

Ref	Expression
dirkercncflem4	|- ( ph -> ( D ` N ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) )

Distinct variable groups:   y, C   y, D   y, E   y, N   y, Y   y, n   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( y, n)   B( y, n)   C( n)   D( n)   E( n)   N( n)   Y( n)

Proof of Theorem dirkercncflem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincn 24198	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
3		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C (,) E ) C_ CC
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C (,) E ) C_ CC )
5		dirkercncflem4.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
6	5	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
7		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
8	7	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
9	6, 8	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
10		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
12	4, 9, 11	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
13	4, 11	idcncfg 40085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> y ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
14	12, 13	mulcncf 23215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
15	2, 14	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
16		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> 2 e. CC )
17		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. RR+
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> pi e. RR+ )
19	18	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> pi e. CC )
20	16, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
21		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C (,) E ) C_ RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C (,) E ) C_ RR )
23	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> y e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> y e. CC )
25	24	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
26	25	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( sin ` ( y / 2 ) ) e. CC )
27	20, 26	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. CC )
28		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR+
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> 2 e. RR+ )
30	29	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> 2 =/= 0 )
31	18	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> pi =/= 0 )
32	16, 19, 30, 31	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
33	24, 16, 19, 30, 31	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( y / 2 ) / pi ) = ( y / ( 2 x. pi ) ) )
34		dirkercncflem4.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- C = ( A x. ( 2 x. pi ) )
35		dirkercncflem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- A = ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
36	35	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) )
37	34, 36	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- C = ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) )
38	37	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( C / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) )
39		dirkercncflem4.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> Y e. RR )
40		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 2 e. RR
41		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- pi e. RR
42	40, 41	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 2 x. pi ) e. RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR )
44		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 e. RR
45		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 0 < 2
46		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 0 < pi
47	40, 41, 45, 46	mulgt0ii 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 < ( 2 x. pi )
48	44, 47	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
50	39, 43, 49	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
51	50	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ )
52	51	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) e. CC )
54	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. CC )
55	53, 54, 49	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) )
56	38, 55	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( C / ( 2 x. pi ) ) = ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( C / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
59	52, 43	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. RR )
60	37, 59	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> C e. RR )
62	29, 18	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> y e. ( C (,) E ) )
64	60	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> C e. RR* )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> C e. RR* )
66	35	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) = A
67	66	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) = ( A + 1 )
68		dirkercncflem4.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- B = ( A + 1 )
69	67, 68	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) = B
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( B x. ( 2 x. pi ) )
71		dirkercncflem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- E = ( B x. ( 2 x. pi ) )
72	70, 71	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) = E
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) = E )
74		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> 1 e. RR )
75	52, 74	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) e. RR )
76	75, 43	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. RR )
77	73, 76	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E e. RR )
78	77	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E e. RR* )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> E e. RR* )
80		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. RR* /\ E e. RR* ) -> ( y e. ( C (,) E ) <-> ( y e. RR /\ C < y /\ y < E ) ) )
81	65, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y e. ( C (,) E ) <-> ( y e. RR /\ C < y /\ y < E ) ) )
82	63, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y e. RR /\ C < y /\ y < E ) )
83	82	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> C < y )
84	61, 23, 62, 83	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( C / ( 2 x. pi ) ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) )
85	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> E e. RR )
86	82	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> y < E )
87	23, 85, 62, 86	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( E / ( 2 x. pi ) ) )
88	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> C = ( A x. ( 2 x. pi ) ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( C / ( 2 x. pi ) ) = ( ( A x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( C / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) = ( ( ( A x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
91	35, 53	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A e. CC )
92	91, 54, 49	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( A x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = A )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( A x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) = ( A + 1 ) )
94	68	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( 2 x. pi ) )
95	71, 94	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- E = ( ( A + 1 ) x. ( 2 x. pi ) )
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E = ( ( A + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( A + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
98	91, 7	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. CC )
99	98, 54, 49	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( A + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( A + 1 ) )
100	97, 99	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( A + 1 ) = ( E / ( 2 x. pi ) ) )
101	90, 93, 100	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. pi ) ) = ( ( C / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( E / ( 2 x. pi ) ) = ( ( C / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
103	87, 102	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( C / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
104		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ /\ ( C / ( 2 x. pi ) ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) /\ ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( C / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
105	58, 84, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
106	33, 105	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ )
107		sineq0 24273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y / 2 ) e. CC -> ( ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ ) )
108	25, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ ) )
109	106, 108	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 )
110	109	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 )
111	20, 26, 32, 110	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) =/= 0 )
112	111	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) = 0 )
113	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> 2 e. RR )
114	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> pi e. RR )
115	113, 114	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
116	23	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
117	116	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( sin ` ( y / 2 ) ) e. RR )
118	115, 117	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. RR )
119		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. RR -> ( ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) = 0 ) )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) = 0 ) )
121	112, 120	mtbird 315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. { 0 } )
122	27, 121	eldifd 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
123		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
124		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) = ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) )
125		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
126	122, 123, 124, 125	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) )
128		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
129	4, 128, 11	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> 2 ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
130	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> pi e. RR+ )
131	130	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> pi e. CC )
132	4, 131, 11	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> pi ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
133	129, 132	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( 2 x. pi ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
134	24, 16, 30	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( y / 2 ) = ( y x. ( 1 / 2 ) ) )
135	134	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> ( y x. ( 1 / 2 ) ) ) )
136	4, 8, 11	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( 1 / 2 ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
137	13, 136	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( y x. ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
138	135, 137	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( y / 2 ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
139	2, 138	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( sin ` ( y / 2 ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
140	133, 139	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
141		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C (,) E ) C_ ( C (,) E )
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C (,) E ) C_ ( C (,) E ) )
143		difssd 3738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
144	127, 140, 142, 143, 122	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
145		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
146		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) = ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) )
147	146	cdivcncf 22720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. CC -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
148	145, 147	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
149	144, 148	cncfco 22710	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
150	126, 149	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
151	15, 150	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) x. ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
152		dirkercncflem4.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
153	152	dirkerval 40308	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( D ` N ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
154	5, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ` N ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
155	154	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) = ( ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( C (,) E ) ) )
156	22	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( C (,) E ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
157	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
158	157, 130	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
160		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ ) -> ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
161	23, 159, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
162	105, 161	mtbird 315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> -. ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
163	162	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
164	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> N e. CC )
165		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> 1 e. CC )
166	165	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
167	164, 166	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
168	167, 24	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) e. CC )
169	168	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) e. CC )
170	169, 27, 111	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) x. ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
171	163, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) E ) ) -> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) x. ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
172	171	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) = ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) x. ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
173	155, 156, 172	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( C (,) E ) |-> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) x. ( 1 / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) )
174		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
175	174	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
176	175	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( C (,) E ) )
177	174	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
178		reex 10027	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. _V
179		restabs 20969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( C (,) E ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( C (,) E ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( C (,) E ) ) )
180	177, 21, 178, 179	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( C (,) E ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( C (,) E ) )
181	176, 180	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( C (,) E ) )
182		unicntop 22589	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
183	182	restid 16094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
184	177, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
185	184	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
186	174, 181, 185	cncfcn 22712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C (,) E ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
187	4, 11, 186	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
188	151, 173, 187	3eltr3d 2715	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
189		retopon 22567	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) )
191		resttopon 20965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( C (,) E ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) e. (TopOn ` ( C (,) E ) ) )
192	190, 22, 191	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) e. (TopOn ` ( C (,) E ) ) )
193	174	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
195		cncnp 21084	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) e. (TopOn ` ( C (,) E ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC /\ A. y e. ( C (,) E ) ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) ) )
196	192, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC /\ A. y e. ( C (,) E ) ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) ) )
197	188, 196	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC /\ A. y e. ( C (,) E ) ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) )
198	197	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( C (,) E ) ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
199		dirkercncflem4.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
200	199	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
201		mod0 12675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ ) -> ( ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
202	39, 158, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
203	200, 202	mtbid 314	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
204		flltnz 12612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. RR /\ -. ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) -> ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) < ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
205	50, 203, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) < ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
206	52, 50, 158, 205	ltmul1dd 11927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
207	39	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. CC )
208	207, 54, 49	divcan1d 10802	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = Y )
209	206, 208	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) x. ( 2 x. pi ) ) < Y )
210	37, 209	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ph -> C < Y )
211		fllelt 12598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) <_ ( Y / ( 2 x. pi ) ) /\ ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) ) )
212	50, 211	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) <_ ( Y / ( 2 x. pi ) ) /\ ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) ) )
213	212	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) )
214	50, 75, 158, 213	ltmul1dd 11927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( ( ( |_ ` ( Y / ( 2 x. pi ) ) ) + 1 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
215	214, 208, 73	3brtr3d 4684	. . . . . 6 |- ( ph -> Y < E )
216	64, 78, 39, 210, 215	eliood 39720	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( C (,) E ) )
217		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) = ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) )
218	217	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) <-> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) ) )
219	218	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( C (,) E ) ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) /\ Y e. ( C (,) E ) ) -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) )
220	198, 216, 219	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) )
221	177	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
222	152	dirkerf 40314	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( D ` N ) : RR --> RR )
223	5, 222	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D ` N ) : RR --> RR )
224	223, 22	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR )
225		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
226	225	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR C_ CC )
227		retop 22565	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
228		uniretop 22566	. . . . . . . 8 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
229	228	restuni 20966	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( C (,) E ) C_ RR ) -> ( C (,) E ) = U. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) )
230	227, 21, 229	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( C (,) E ) = U. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) )
231	230, 182	cnprest2 21094	. . . . 5 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) <-> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` Y ) ) )
232	221, 224, 226, 231	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` Y ) <-> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` Y ) ) )
233	220, 232	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` Y ) )
234	175	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
235	234	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) ) )
236	235	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) )
237	236	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` Y ) = ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) )
238	233, 237	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) )
239	227	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
240		iooretop 22569	. . . . . . 7 |- ( C (,) E ) e. ( topGen ` ran (,) )
241	228	isopn3 20870	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( C (,) E ) C_ RR ) -> ( ( C (,) E ) e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) = ( C (,) E ) ) )
242	240, 241	mpbii 223	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( C (,) E ) C_ RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) = ( C (,) E ) )
243	239, 22, 242	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) = ( C (,) E ) )
244	243	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( C (,) E ) = ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) )
245	216, 244	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) )
246	228, 228	cnprest 21093	. . 3 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( C (,) E ) C_ RR ) /\ ( Y e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C (,) E ) ) /\ ( D ` N ) : RR --> RR ) ) -> ( ( D ` N ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) <-> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) ) )
247	239, 22, 245, 223, 246	syl22anc 1327	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` N ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) <-> ( ( D ` N ) |` ( C (,) E ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C (,) E ) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) ) )
248	238, 247	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( D ` N ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) CnP ( topGen ` ran (,) ) ) ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   mod cmo 12668   sincsin 14794   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkercncf  40324