Theorem cvmliftmolem1 31263

Description: Lemma for cvmliftmo 31266. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftmo.b	|- B = U. C
cvmliftmo.y	|- Y = U. K
cvmliftmo.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftmo.k	|- ( ph -> K e. Conn )
cvmliftmo.l	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally Conn )
cvmliftmo.o	|- ( ph -> O e. Y )
cvmliftmoi.m	|- ( ph -> M e. ( K Cn C ) )
cvmliftmoi.n	|- ( ph -> N e. ( K Cn C ) )
cvmliftmoi.g	|- ( ph -> ( F o. M ) = ( F o. N ) )
cvmliftmoi.p	|- ( ph -> ( M ` O ) = ( N ` O ) )
cvmliftmolem.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmliftmolem.2	|- ( ( ph /\ ps ) -> T e. ( S ` U ) )
cvmliftmolem.3	|- ( ( ph /\ ps ) -> W e. T )
cvmliftmolem.4	|- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ ( `' M " W ) )
cvmliftmolem.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( K ↾t I ) e. Conn )
cvmliftmolem.6	|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. I )
cvmliftmolem.7	|- ( ( ph /\ ps ) -> Q e. I )
cvmliftmolem.8	|- ( ( ph /\ ps ) -> R e. I )
cvmliftmolem.9	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( F ` ( M ` X ) ) e. U )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftmolem1	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q e. dom ( M i^i N ) -> R e. dom ( M i^i N ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, J, s, u, v   v, B   K, s   k, M, s, u, v   N, s   ph, s   k, F, s, u, v   S, s   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, W, v   Y, s

Allowed substitution hints:   ph( v, u, k)   ps( v, u, k, s)   B( u, k, s)   Q( v, u, k, s)   R( v, u, k, s)   S( v, u, k)   T( k)   I( v, u, k, s)   K( v, u, k)   N( v, u, k)   O( v, u, k, s)   W( k, s)   X( v, u, k, s)   Y( v, u, k)

Proof of Theorem cvmliftmolem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftmoi.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. M ) = ( F o. N ) )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F o. M ) = ( F o. N ) )
3	2	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( F o. M ) ` R ) = ( ( F o. N ) ` R ) )
4		cvmliftmolem.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ ( `' M " W ) )
5		cvmliftmolem.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. I )
6	4, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. ( `' M " W ) )
7		cvmliftmoi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( K Cn C ) )
8		cvmliftmo.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = U. K
9		cvmliftmo.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = U. C
10	8, 9	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( K Cn C ) -> M : Y --> B )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M : Y --> B )
12		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M : Y --> B -> M Fn Y )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M Fn Y )
14		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M Fn Y -> ( R e. ( `' M " W ) <-> ( R e. Y /\ ( M ` R ) e. W ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R e. ( `' M " W ) <-> ( R e. Y /\ ( M ` R ) e. W ) ) )
16	15	simprbda 653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R e. ( `' M " W ) ) -> R e. Y )
17	6, 16	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. Y )
18		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M : Y --> B /\ R e. Y ) -> ( ( F o. M ) ` R ) = ( F ` ( M ` R ) ) )
19	11, 18	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R e. Y ) -> ( ( F o. M ) ` R ) = ( F ` ( M ` R ) ) )
20	17, 19	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( F o. M ) ` R ) = ( F ` ( M ` R ) ) )
21		cvmliftmoi.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( K Cn C ) )
22	8, 9	cnf 21050	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( K Cn C ) -> N : Y --> B )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N : Y --> B )
24		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : Y --> B /\ R e. Y ) -> ( ( F o. N ) ` R ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
25	23, 24	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R e. Y ) -> ( ( F o. N ) ` R ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
26	17, 25	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( F o. N ) ` R ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
27	3, 20, 26	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F ` ( M ` R ) ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( F ` ( M ` R ) ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
29	15	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R e. ( `' M " W ) ) -> ( M ` R ) e. W )
30	6, 29	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ` R ) e. W )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( M ` R ) e. W )
32		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( M ` R ) e. W -> ( ( F |` W ) ` ( M ` R ) ) = ( F ` ( M ` R ) ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( F |` W ) ` ( M ` R ) ) = ( F ` ( M ` R ) ) )
34	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> R e. I )
35		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( R e. I -> ( ( N |` I ) ` R ) = ( N ` R ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( N |` I ) ` R ) = ( N ` R ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( K ↾t I ) = U. ( K ↾t I )
38		cvmliftmolem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( K ↾t I ) e. Conn )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( K ↾t I ) e. Conn )
40	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> N e. ( K Cn C ) )
41		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' M " W ) C_ dom M
42		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M : Y --> B -> dom M = Y )
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom M = Y )
44	41, 43	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' M " W ) C_ Y )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' M " W ) C_ Y )
46	4, 45	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ Y )
47	8	cnrest 21089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( K Cn C ) /\ I C_ Y ) -> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn C ) )
48	40, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn C ) )
49		cvmliftmo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> F e. ( C CovMap J ) )
51		cvmtop1 31242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. Top )
53	9	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. Top <-> C e. (TopOn ` B ) )
54	52, 53	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. (TopOn ` B ) )
55		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N " I ) = ran ( N |` I )
56		cvmliftmolem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. T )
57		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( W e. T -> W C_ U. T )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ps ) -> W C_ U. T )
59		cvmliftmolem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ps ) -> T e. ( S ` U ) )
60		cvmliftmolem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
61	60	cvmsuni 31251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ps ) -> U. T = ( `' F " U ) )
63	58, 62	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> W C_ ( `' F " U ) )
64		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W C_ ( `' F " U ) -> ( `' M " W ) C_ ( `' M " ( `' F " U ) ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' M " W ) C_ ( `' M " ( `' F " U ) ) )
66	4, 65	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ ( `' M " ( `' F " U ) ) )
67	2	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ps ) -> `' ( F o. M ) = `' ( F o. N ) )
68		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- `' ( F o. M ) = ( `' M o. `' F )
69		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- `' ( F o. N ) = ( `' N o. `' F )
70	67, 68, 69	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' M o. `' F ) = ( `' N o. `' F ) )
71	70	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( `' M o. `' F ) " U ) = ( ( `' N o. `' F ) " U ) )
72		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' M o. `' F ) " U ) = ( `' M " ( `' F " U ) )
73		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' N o. `' F ) " U ) = ( `' N " ( `' F " U ) )
74	71, 72, 73	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' M " ( `' F " U ) ) = ( `' N " ( `' F " U ) ) )
75	66, 74	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ ( `' N " ( `' F " U ) ) )
76	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> N : Y --> B )
77		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N : Y --> B -> Fun N )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> Fun N )
79		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N : Y --> B -> dom N = Y )
80	76, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> dom N = Y )
81	46, 80	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> I C_ dom N )
82		funimass3 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun N /\ I C_ dom N ) -> ( ( N " I ) C_ ( `' F " U ) <-> I C_ ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
83	78, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N " I ) C_ ( `' F " U ) <-> I C_ ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
84	75, 83	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( N " I ) C_ ( `' F " U ) )
85	55, 84	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ran ( N |` I ) C_ ( `' F " U ) )
86		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' F " U ) C_ dom F
87		cvmcn 31244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
88	49, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. J = U. J
90	9, 89	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> U. J )
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : B --> U. J )
92		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : B --> U. J -> dom F = B )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom F = B )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> dom F = B )
95	86, 94	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' F " U ) C_ B )
96		cnrest2 21090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. (TopOn ` B ) /\ ran ( N |` I ) C_ ( `' F " U ) /\ ( `' F " U ) C_ B ) -> ( ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn C ) <-> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) ) )
97	54, 85, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn C ) <-> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) ) )
98	48, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( N |` I ) e. ( ( K ↾t I ) Cn ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
100		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W C_ ( `' F " U ) <-> ( W i^i ( `' F " U ) ) = W )
101	63, 100	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( W i^i ( `' F " U ) ) = W )
102	9	topopn 20711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. Top -> B e. C )
103	52, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. C )
104	103, 95	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( `' F " U ) e. _V )
105	60	cvmsss 31249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
106	59, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> T C_ C )
107	106, 56	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. C )
108		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ W e. C ) -> ( W i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
109	52, 104, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( W i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
110	101, 109	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> W e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
112	60	cvmscld 31255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ W e. T ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
113	50, 59, 56, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
115		cvmliftmolem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> Q e. I )
116		cvmliftmo.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. Conn )
117		conntop 21220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. Conn -> K e. Top )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. Top )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> K e. Top )
120	8	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ I C_ Y ) -> I = U. ( K ↾t I ) )
121	119, 46, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> I = U. ( K ↾t I ) )
122	115, 121	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> Q e. U. ( K ↾t I ) )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> Q e. U. ( K ↾t I ) )
124	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> Q e. I )
125		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. I -> ( ( N |` I ) ` Q ) = ( N ` Q ) )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( N |` I ) ` Q ) = ( N ` Q ) )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( M ` Q ) = ( N ` Q ) )
128	4, 115	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> Q e. ( `' M " W ) )
129		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M Fn Y -> ( Q e. ( `' M " W ) <-> ( Q e. Y /\ ( M ` Q ) e. W ) ) )
130	13, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( `' M " W ) <-> ( Q e. Y /\ ( M ` Q ) e. W ) ) )
131	130	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ Q e. ( `' M " W ) ) -> ( M ` Q ) e. W )
132	128, 131	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ` Q ) e. W )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( M ` Q ) e. W )
134	127, 133	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( N ` Q ) e. W )
135	126, 134	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( N |` I ) ` Q ) e. W )
136	37, 39, 99, 111, 114, 123, 135	conncn 21229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( N |` I ) : U. ( K ↾t I ) --> W )
137	121	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> I = U. ( K ↾t I ) )
138	137	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( N |` I ) : I --> W <-> ( N |` I ) : U. ( K ↾t I ) --> W ) )
139	136, 138	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( N |` I ) : I --> W )
140	139, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( N |` I ) ` R ) e. W )
141	36, 140	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( N ` R ) e. W )
142		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( N ` R ) e. W -> ( ( F |` W ) ` ( N ` R ) ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
143	141, 142	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( F |` W ) ` ( N ` R ) ) = ( F ` ( N ` R ) ) )
144	28, 33, 143	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( F |` W ) ` ( M ` R ) ) = ( ( F |` W ) ` ( N ` R ) ) )
145	60	cvmsf1o 31254	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ W e. T ) -> ( F |` W ) : W -1-1-onto-> U )
146	50, 59, 56, 145	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F |` W ) : W -1-1-onto-> U )
147		f1of1 6136	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` W ) : W -1-1-onto-> U -> ( F |` W ) : W -1-1-> U )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F |` W ) : W -1-1-> U )
149	148	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( F |` W ) : W -1-1-> U )
150		f1fveq 6519	. . . . . 6 |- ( ( ( F |` W ) : W -1-1-> U /\ ( ( M ` R ) e. W /\ ( N ` R ) e. W ) ) -> ( ( ( F |` W ) ` ( M ` R ) ) = ( ( F |` W ) ` ( N ` R ) ) <-> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
151	149, 31, 141, 150	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( ( ( F |` W ) ` ( M ` R ) ) = ( ( F |` W ) ` ( N ` R ) ) <-> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
152	144, 151	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) -> ( M ` R ) = ( N ` R ) )
153	152	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ` Q ) = ( N ` Q ) -> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
154	130	simprbda 653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Q e. ( `' M " W ) ) -> Q e. Y )
155	128, 154	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> Q e. Y )
156		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( M ` x ) = ( M ` Q ) )
157		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( N ` x ) = ( N ` Q ) )
158	156, 157	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = Q -> ( ( M ` x ) = ( N ` x ) <-> ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) )
159	158	elrab3 3364	. . . 4 |- ( Q e. Y -> ( Q e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } <-> ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) )
160	155, 159	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } <-> ( M ` Q ) = ( N ` Q ) ) )
161		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = R -> ( M ` x ) = ( M ` R ) )
162		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = R -> ( N ` x ) = ( N ` R ) )
163	161, 162	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = R -> ( ( M ` x ) = ( N ` x ) <-> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
164	163	elrab3 3364	. . . 4 |- ( R e. Y -> ( R e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } <-> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
165	17, 164	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } <-> ( M ` R ) = ( N ` R ) ) )
166	153, 160, 165	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } -> R e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } ) )
167		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( N : Y --> B -> N Fn Y )
168	23, 167	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N Fn Y )
169		fndmin 6324	. . . . 5 |- ( ( M Fn Y /\ N Fn Y ) -> dom ( M i^i N ) = { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } )
170	13, 168, 169	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> dom ( M i^i N ) = { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } )
171	170	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> dom ( M i^i N ) = { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } )
172	171	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q e. dom ( M i^i N ) <-> Q e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } ) )
173	171	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R e. dom ( M i^i N ) <-> R e. { x e. Y | ( M ` x ) = ( N ` x ) } ) )
174	166, 172, 173	3imtr4d 283	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q e. dom ( M i^i N ) -> R e. dom ( M i^i N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028  Conncconn 21214  𝑛Locally cnlly 21268   Homeochmeo 21556   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-conn 21215  df-hmeo 21558  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  31264