Theorem cznabel 41954

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cznrng.b	|- B = ( Base ` Y )
cznrng.x	|- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )

Assertion

Ref	Expression
cznabel	|- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> X e. Abel )

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> N e. NN0 )
3		cznrng.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4	3	zncrng 19893	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> Y e. CRing )
6		crngring 18558	. . 3 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
7		ringabl 18580	. . 3 |- ( Y e. Ring -> Y e. Abel )
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> Y e. Abel )
9		cznrng.x	. . . . 5 |- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
10	9	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
11		baseid 15919	. . . . 5 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
12		basendxnmulrndx 15999	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
13	11, 12	setsnid 15915	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
14	10, 13	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( Base ` X ) = ( Base ` Y )
15	9	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( +g ` X ) = ( +g ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
16		plusgid 15977	. . . . 5 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
17		plusgndxnmulrndx 15998	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
18	16, 17	setsnid 15915	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
19	15, 18	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( +g ` X ) = ( +g ` Y )
20	14, 19	ablprop 18204	. 2 |- ( X e. Abel <-> Y e. Abel )
21	8, 20	sylibr 224	1 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> X e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  cznrng  41955