Theorem dgrval 23984

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	|- A = (coeff ` F )

Assertion

Ref	Expression
dgrval	|- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) = sup ( ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) )

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 23956	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2	1	sseli 3599	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F e. (Poly ` CC ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( f = F -> (coeff ` f ) = (coeff ` F ) )
4		dgrval.1	. . . . . . 7 |- A = (coeff ` F )
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( f = F -> (coeff ` f ) = A )
6	5	cnveqd 5298	. . . . 5 |- ( f = F -> `' (coeff ` f ) = `' A )
7	6	imaeq1d 5465	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' (coeff ` f ) " ( CC \ { 0 } ) ) = ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) )
8	7	supeq1d 8352	. . 3 |- ( f = F -> sup ( ( `' (coeff ` f ) " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) = sup ( ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) )
9		df-dgr 23947	. . 3 |- deg = ( f e. (Poly ` CC ) |-> sup ( ( `' (coeff ` f ) " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) )
10		nn0ssre 11296	. . . . 5 |- NN0 C_ RR
11		ltso 10118	. . . . 5 |- < Or RR
12		soss 5053	. . . . 5 |- ( NN0 C_ RR -> ( < Or RR -> < Or NN0 ) )
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 |- < Or NN0
14	13	supex 8369	. . 3 |- sup ( ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) e. _V
15	8, 9, 14	fvmpt 6282	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> (deg ` F ) = sup ( ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) )
16	2, 15	syl 17	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) = sup ( ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) , NN0 , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   Or wor 5034   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   NN0cn0 11292  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-n0 11293  df-ply 23944  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  dgrcl  23989  dgrub  23990  dgrlb  23992  coe11  24009