Theorem dp2ltc 29594

Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	|- A e. NN0
dp2lt.b	|- B e. RR+
dp2ltc.c	|- C e. NN0
dp2ltc.d	|- D e. RR+
dp2ltc.s	|- B < ; 1 0
dp2ltc.l	|- A < C

Assertion

Ref	Expression
dp2ltc	|- _ A B < _ C D

Proof of Theorem dp2ltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltc.s	. . . . . 6 |- B < ; 1 0
2		rpssre 11843	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
3		dp2lt.b	. . . . . . . 8 |- B e. RR+
4	2, 3	sselii 3600	. . . . . . 7 |- B e. RR
5		10re 11517	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
6		10pos 11515	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
7		elrp 11834	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 e. RR+ <-> (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) )
8	5, 6, 7	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. RR+
9		divlt1lt 11899	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ; 1 0 e. RR+ ) -> ( ( B / ; 1 0 ) < 1 <-> B < ; 1 0 ) )
10	4, 8, 9	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( B / ; 1 0 ) < 1 <-> B < ; 1 0 )
11	1, 10	mpbir 221	. . . . 5 |- ( B / ; 1 0 ) < 1
12	5, 6	gt0ne0ii 10564	. . . . . . 7 |- ; 1 0 =/= 0
13	4, 5, 12	redivcli 10792	. . . . . 6 |- ( B / ; 1 0 ) e. RR
14		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
15		dp2lt.a	. . . . . . 7 |- A e. NN0
16	15	nn0rei 11303	. . . . . 6 |- A e. RR
17		ltadd2 10141	. . . . . 6 |- ( ( ( B / ; 1 0 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B / ; 1 0 ) < 1 <-> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + 1 ) ) )
18	13, 14, 16, 17	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( ( B / ; 1 0 ) < 1 <-> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + 1 ) )
19	11, 18	mpbi 220	. . . 4 |- ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + 1 )
20		dp2ltc.l	. . . . 5 |- A < C
21	15	nn0zi 11402	. . . . . 6 |- A e. ZZ
22		dp2ltc.c	. . . . . . 7 |- C e. NN0
23	22	nn0zi 11402	. . . . . 6 |- C e. ZZ
24		zltp1le 11427	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
25	21, 23, 24	mp2an 708	. . . . 5 |- ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C )
26	20, 25	mpbi 220	. . . 4 |- ( A + 1 ) <_ C
27	16, 13	readdcli 10053	. . . . 5 |- ( A + ( B / ; 1 0 ) ) e. RR
28	16, 14	readdcli 10053	. . . . 5 |- ( A + 1 ) e. RR
29	22	nn0rei 11303	. . . . 5 |- C e. RR
30	27, 28, 29	ltletri 10165	. . . 4 |- ( ( ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + 1 ) /\ ( A + 1 ) <_ C ) -> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < C )
31	19, 26, 30	mp2an 708	. . 3 |- ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < C
32		dp2ltc.d	. . . . . 6 |- D e. RR+
33	32, 8	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( D e. RR+ /\ ; 1 0 e. RR+ )
34		rpdivcl 11856	. . . . 5 |- ( ( D e. RR+ /\ ; 1 0 e. RR+ ) -> ( D / ; 1 0 ) e. RR+ )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 |- ( D / ; 1 0 ) e. RR+
36		ltaddrp 11867	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ ( D / ; 1 0 ) e. RR+ ) -> C < ( C + ( D / ; 1 0 ) ) )
37	29, 35, 36	mp2an 708	. . 3 |- C < ( C + ( D / ; 1 0 ) )
38	2, 32	sselii 3600	. . . . . 6 |- D e. RR
39	38, 5, 12	redivcli 10792	. . . . 5 |- ( D / ; 1 0 ) e. RR
40	29, 39	readdcli 10053	. . . 4 |- ( C + ( D / ; 1 0 ) ) e. RR
41	27, 29, 40	lttri 10163	. . 3 |- ( ( ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < C /\ C < ( C + ( D / ; 1 0 ) ) ) -> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( C + ( D / ; 1 0 ) ) )
42	31, 37, 41	mp2an 708	. 2 |- ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( C + ( D / ; 1 0 ) )
43		df-dp2 29578	. 2 |- _ A B = ( A + ( B / ; 1 0 ) )
44		df-dp2 29578	. 2 |- _ C D = ( C + ( D / ; 1 0 ) )
45	42, 43, 44	3brtr4i 4683	1 |- _ A B < _ C D

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832  _cdp2 29577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-rp 11833  df-dp2 29578

This theorem is referenced by:  dpltc  29615