Theorem rpdivcl 11856

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11839	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rprene0 11849	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ B =/= 0 ) )
3		redivcl 10744	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
4	3	3expb 1266	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ B =/= 0 ) ) -> ( A / B ) e. RR )
5	1, 2, 4	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )
6		elrp 11834	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
7		elrp 11834	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
8		divgt0 10891	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A / B ) )
9	6, 7, 8	syl2anb 496	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A / B ) )
10		elrp 11834	. 2 |- ( ( A / B ) e. RR+ <-> ( ( A / B ) e. RR /\ 0 < ( A / B ) ) )
11	5, 9, 10	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rpreccl  11857  rphalfcl  11858  rpdivcld  11889  bcrpcl  13095  sqrlem7  13989  caurcvgr  14404  isprm5  15419  4sqlem12  15660  sylow1lem1  18013  metss2lem  22316  metss2  22317  minveclem3  23200  ovoliunlem3  23272  vitalilem4  23380  aaliou3lem8  24100  abelthlem8  24193  pige3  24269  advlogexp  24401  atan1  24655  log2cnv  24671  cxp2limlem  24702  harmonicbnd4  24737  basellem1  24807  logexprlim  24950  logfacrlim2  24951  bcmono  25002  bposlem1  25009  bposlem7  25015  bposlem9  25017  rplogsumlem1  25173  dchrisumlem3  25180  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem2  25191  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  selberglem1  25234  selberglem2  25235  selberg  25237  selberg3lem1  25246  selbergr  25257  pntpbnd1a  25274  pntibndlem1  25278  pntibndlem3  25281  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  smcnlem  27552  blocnilem  27659  minvecolem3  27732  nmcexi  28885  rpdp2cl  29589  dp2ltc  29594  dpgti  29614  circum  31568  faclim  31632  taupilem1  33167  pigt3  33402  poimirlem29  33438  mblfinlem3  33448  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  heiborlem5  33614  heiborlem7  33616  proot1ex  37779