Theorem dp3mul10 29606

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	|- A e. NN0
dp3mul10.b	|- B e. NN0
dp3mul10.c	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	|- ( ( A period_ B C ) x. ; 1 0 ) = (; A B period C )

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 |- A e. NN0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 11303	. . . 4 |- B e. RR
4		dp3mul10.c	. . . 4 |- C e. RR
5		dp2cl 29587	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> _ B C e. RR )
6	3, 4, 5	mp2an 708	. . 3 |- _ B C e. RR
7	1, 6	dpmul10 29603	. 2 |- ( ( A period_ B C ) x. ; 1 0 ) = ; A_ B C
8		dfdec10 11497	. 2 |- ; A_ B C = ( (; 1 0 x. A ) + _ B C )
9		10nn 11514	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. NN
10	9	nncni 11030	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. CC
11	1	nn0cni 11304	. . . . . 6 |- A e. CC
12	10, 11	mulcli 10045	. . . . 5 |- (; 1 0 x. A ) e. CC
13	3	recni 10052	. . . . 5 |- B e. CC
14	4	recni 10052	. . . . . 6 |- C e. CC
15	9	nnne0i 11055	. . . . . 6 |- ; 1 0 =/= 0
16	14, 10, 15	divcli 10767	. . . . 5 |- ( C / ; 1 0 ) e. CC
17	12, 13, 16	addassi 10048	. . . 4 |- ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) + ( C / ; 1 0 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + ( B + ( C / ; 1 0 ) ) )
18		dfdec10 11497	. . . . 5 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
19	18	oveq1i 6660	. . . 4 |- (; A B + ( C / ; 1 0 ) ) = ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) + ( C / ; 1 0 ) )
20		df-dp2 29578	. . . . 5 |- _ B C = ( B + ( C / ; 1 0 ) )
21	20	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( (; 1 0 x. A ) + _ B C ) = ( (; 1 0 x. A ) + ( B + ( C / ; 1 0 ) ) )
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2655	. . 3 |- ( (; 1 0 x. A ) + _ B C ) = (; A B + ( C / ; 1 0 ) )
23	1, 2	deccl 11512	. . . 4 |- ; A B e. NN0
24	23, 4	dpval2 29601	. . 3 |- (; A B period C ) = (; A B + ( C / ; 1 0 ) )
25	22, 24	eqtr4i 2647	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + _ B C ) = (; A B period C )
26	7, 8, 25	3eqtri 2648	1 |- ( ( A period_ B C ) x. ; 1 0 ) = (; A B period C )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NN0cn0 11292  ;cdc 11493  _cdp2 29577   periodcdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by:  dpmul4  29622