Theorem deccl 11512

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	|- A e. NN0
deccl.2	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
deccl	|- ; A B e. NN0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 11494	. 2 |- ; A B = ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B )
2		9nn0 11316	. . . 4 |- 9 e. NN0
3		1nn0 11308	. . . 4 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 11330	. . 3 |- ( 9 + 1 ) e. NN0
5		deccl.1	. . 3 |- A e. NN0
6		deccl.2	. . 3 |- B e. NN0
7	4, 5, 6	numcl 11510	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B ) e. NN0
8	1, 7	eqeltri 2697	1 |- ; A B e. NN0

Syntax hints:   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   9c9 11077   NN0cn0 11292  ;cdc 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494

This theorem is referenced by:  10nn0  11516  3declth  11537  3decltc  11538  3decltcOLD  11539  decleh  11541  declecOLD  11544  sq10  13048  bpoly4  14790  fsumcube  14791  3dvds2dec  15056  3dvds2decOLD  15057  dec2dvds  15767  dec5dvds2  15769  2exp8  15796  2exp16  15797  prmlem2  15827  37prm  15828  43prm  15829  83prm  15830  139prm  15831  163prm  15832  317prm  15833  631prm  15834  1259lem1  15838  1259lem2  15839  1259lem3  15840  1259lem4  15841  1259lem5  15842  1259prm  15843  2503lem1  15844  2503lem2  15845  2503lem3  15846  2503prm  15847  4001lem1  15848  4001lem2  15849  4001lem3  15850  4001lem4  15851  4001prm  15852  slotsbhcdif  16080  cnfldfun  19758  tnglem  22444  quart1cl  24581  quart1lem  24582  quart1  24583  log2ublem3  24675  log2ub  24676  log2le1  24677  birthday  24681  bpos1  25008  bpos  25018  1kp2ke3k  27303  dp3mul10  29606  dpmul1000  29607  dpadd  29619  dpmul  29621  dpmul4  29622  hgt750lemd  30726  hgt750lem  30729  hgt750lem2  30730  hgt750leme  30736  tgoldbachgnn  30737  tgoldbachgt  30741  kur14lem9  31196  inductionexd  38453  fmtno3  41463  fmtno4  41464  fmtno5lem1  41465  fmtno5lem2  41466  fmtno5lem3  41467  fmtno5lem4  41468  fmtno5  41469  257prm  41473  fmtno4prmfac  41484  fmtno4nprmfac193  41486  fmtno5faclem1  41491  fmtno5faclem2  41492  fmtno5faclem3  41493  fmtno5fac  41494  fmtno5nprm  41495  139prmALT  41511  31prm  41512  127prm  41515  m7prm  41516  2exp11  41517  m11nprm  41518  evengpoap3  41687  bgoldbachlt  41701  tgoldbachlt  41704  tgoldbachltOLD  41710