Theorem dsmm0cl 20084

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	|- P = ( S X_s R )
dsmmcl.h	|- H = ( Base ` ( S (+)m R ) )
dsmmcl.i	|- ( ph -> I e. W )
dsmmcl.s	|- ( ph -> S e. V )
dsmmcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
dsmm0cl.z	|- .0. = ( 0g ` P )

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	|- ( ph -> .0. e. H )

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 |- P = ( S X_s R )
2		dsmmcl.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
3		dsmmcl.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		dsmmcl.r	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 17323	. . 3 |- ( ph -> P e. Mnd )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7		dsmm0cl.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` P )
8	6, 7	mndidcl 17308	. . 3 |- ( P e. Mnd -> .0. e. ( Base ` P ) )
9	5, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` P ) )
10	1, 2, 3, 4	prds0g 17324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` P ) )
11	10, 7	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = .0. )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. I ) -> ( 0g o. R ) = .0. )
13	12	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` a ) = ( .0. ` a ) )
14		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( R : I --> Mnd -> R Fn I )
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
16		fvco2 6273	. . . . . . . 8 |- ( ( R Fn I /\ a e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` a ) = ( 0g ` ( R ` a ) ) )
17	15, 16	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` a ) = ( 0g ` ( R ` a ) ) )
18	13, 17	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. I ) -> ( .0. ` a ) = ( 0g ` ( R ` a ) ) )
19		nne 2798	. . . . . 6 |- ( -. ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) <-> ( .0. ` a ) = ( 0g ` ( R ` a ) ) )
20	18, 19	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. I ) -> -. ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) )
21	20	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. I -. ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) )
22		rabeq0 3957	. . . 4 |- ( { a e. I | ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) } = (/) <-> A. a e. I -. ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) )
23	21, 22	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> { a e. I | ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) } = (/) )
24		0fin 8188	. . 3 |- (/) e. Fin
25	23, 24	syl6eqel 2709	. 2 |- ( ph -> { a e. I | ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) } e. Fin )
26		eqid 2622	. . 3 |- ( S (+)m R ) = ( S (+)m R )
27		dsmmcl.h	. . 3 |- H = ( Base ` ( S (+)m R ) )
28	1, 26, 6, 27, 2, 15	dsmmelbas 20083	. 2 |- ( ph -> ( .0. e. H <-> ( .0. e. ( Base ` P ) /\ { a e. I | ( .0. ` a ) =/= ( 0g ` ( R ` a ) ) } e. Fin ) ) )
29	9, 25, 28	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> .0. e. H )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   (/)c0 3915   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   X__scprds 16106   Mndcmnd 17294   (+)_m cdsmm 20075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-dsmm 20076

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20087