Theorem dvamulr 36300

Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafmul.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvafmul.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dvafmul.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dvafmul.u	|- U = ( ( DVecA ` K ) ` W )
dvafmul.f	|- F = (Scalar ` U )
dvafmul.p	|- .x. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
dvamulr	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ S e. E ) ) -> ( R .x. S ) = ( R o. S ) )

Proof of Theorem dvamulr

Dummy variables s r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafmul.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvafmul.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		dvafmul.e	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		dvafmul.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecA ` K ) ` W )
5		dvafmul.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
6		dvafmul.p	. . . 4 |- .x. = ( .r ` F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvafmulr 36299	. . 3 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .x. = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) )
8	7	oveqd 6667	. 2 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( R .x. S ) = ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) )
9		coexg 7117	. . 3 |- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R o. S ) e. _V )
10		coeq1 5279	. . . 4 |- ( r = R -> ( r o. s ) = ( R o. s ) )
11		coeq2 5280	. . . 4 |- ( s = S -> ( R o. s ) = ( R o. S ) )
12		eqid 2622	. . . 4 |- ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) )
13	10, 11, 12	ovmpt2g 6795	. . 3 |- ( ( R e. E /\ S e. E /\ ( R o. S ) e. _V ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) )
14	9, 13	mpd3an3 1425	. 2 |- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) )
15	8, 14	sylan9eq 2676	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ S e. E ) ) -> ( R .x. S ) = ( R o. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040   DVecAcdveca 36290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-edring 36045  df-dveca 36291

This theorem is referenced by:  dvalveclem  36314