Theorem dvdsflip 15039

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	|- A = { x e. NN | x || N }
dvdsflip.f	|- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	|- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 |- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )
2		dvdsflip.a	. . . . 5 |- A = { x e. NN | x || N }
3	2	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( y e. A <-> y e. { x e. NN | x || N } )
4		dvdsdivcl 15038	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
5	3, 4	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
6	5, 2	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. A )
7	2	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( z e. A <-> z e. { x e. NN | x || N } )
8		dvdsdivcl 15038	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ z e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
9	7, 8	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
10	9, 2	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. A )
11		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
12	2, 11	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- A C_ NN
13	12	sseli 3599	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. NN )
14	12	sseli 3599	. . . . 5 |- ( z e. A -> z e. NN )
15	13, 14	anim12i 590	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y e. NN /\ z e. NN ) )
16		nncn 11028	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> N e. CC )
18		nncn 11028	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. CC )
20		nncn 11028	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z e. CC )
21	20	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. CC )
22		nnne0 11053	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z =/= 0 )
23	22	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z =/= 0 )
24	17, 19, 21, 23	divmul3d 10835	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> N = ( y x. z ) ) )
25		nnne0 11053	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y =/= 0 )
27	17, 21, 19, 26	divmul2d 10834	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / y ) = z <-> N = ( y x. z ) ) )
28	24, 27	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
29	15, 28	sylan2 491	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
30		eqcom 2629	. . 3 |- ( y = ( N / z ) <-> ( N / z ) = y )
31		eqcom 2629	. . 3 |- ( z = ( N / y ) <-> ( N / y ) = z )
32	29, 30, 31	3bitr4g 303	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = ( N / z ) <-> z = ( N / y ) ) )
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6887	1 |- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  phisum  15495  fsumdvdscom  24911