Theorem dvdsdivcl 15038

Description: The complement of a divisor of N is also a divisor of N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	|- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x || N <-> A || N ) )
2	1	elrab 3363	. . . 4 |- ( A e. { x e. NN | x || N } <-> ( A e. NN /\ A || N ) )
3		nndivdvds 14989	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N <-> ( N / A ) e. NN ) )
4	3	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) )
5	4	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( N e. NN -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) ) )
6	5	com23 86	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( A || N -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) ) )
7	6	imp 445	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) )
8		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
9	8	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A =/= 0 /\ A || N ) )
10	9	ancomd 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A || N /\ A =/= 0 ) )
11		divconjdvds 15037	. . . . . 6 |- ( ( A || N /\ A =/= 0 ) -> ( N / A ) || N )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N / A ) || N )
13	7, 12	jctird 567	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
14	2, 13	sylbi 207	. . 3 |- ( A e. { x e. NN | x || N } -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
15	14	impcom 446	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
16		breq1 4656	. . 3 |- ( x = ( N / A ) -> ( x || N <-> ( N / A ) || N ) )
17	16	elrab 3363	. 2 |- ( ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } <-> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
18	15, 17	sylibr 224	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   / cdiv 10684   NNcn 11020   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  dvdsflip  15039  fsumdvdsdiaglem  24909  fsumdvdsdiag  24910  fsumdvdscom  24911  muinv  24919  logsqvma  25231  logsqvma2  25232  selberg  25237  selberg34r  25260  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem1  25266