Theorem elfzolborelfzop1 42309

Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolborelfzop1	|- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzolborelfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 12473	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
2		eluz2 11693	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
3		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
4		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
5		leloe 10124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
7		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
9	8	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
10		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
11		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> M < K )
12		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M < K <-> ( M + 1 ) <_ K ) )
13	12	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> ( M < K <-> ( M + 1 ) <_ K ) )
14	11, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> ( M + 1 ) <_ K )
15	9, 10, 14	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ K ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) /\ K < N ) -> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ K ) )
17		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) /\ K < N ) -> N e. ZZ )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) /\ K < N ) -> K < N )
19		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( ( M + 1 )..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
20		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ K ) )
21	20	3anbi1i 1253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ K ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
22	19, 21	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ( M + 1 )..^ N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ K ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
23	16, 17, 18, 22	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) /\ K < N ) -> K e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
24	23	olcd 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M < K /\ ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) ) /\ K < N ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
25	24	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( M < K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) )
26		orc 400	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = M -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
27	26	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( M = K -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
28	27	2a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( M = K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) )
29	25, 28	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( M < K \/ M = K ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) )
30	29	expd 452	. . . . . . 7 |- ( ( M < K \/ M = K ) -> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) ) )
31	30	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M < K \/ M = K ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) ) )
32	6, 31	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) ) )
33	32	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) )
34	2, 33	sylbi 207	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) ) ) )
35	34	3imp 1256	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
36	1, 35	sylbi 207	1 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  42376