Theorem pw2m1lepw2m1 42310

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	|- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ I ) - 1 ) )

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 11194	. . . 4 |- 1 < 2
2		nncn 11028	. . . . . . 7 |- ( I e. NN -> I e. CC )
3		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( I e. NN -> 1 e. CC )
4	2, 3	nncand 10397	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> ( I - ( I - 1 ) ) = 1 )
5	4	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - ( I - 1 ) ) ) = ( 2 ^ 1 ) )
6		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> 2 e. CC )
8		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> 2 =/= 0 )
10		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( I e. NN -> I e. ZZ )
11		peano2zm 11420	. . . . . . 7 |- ( I e. ZZ -> ( I - 1 ) e. ZZ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> ( I - 1 ) e. ZZ )
13	7, 9, 12, 10	expsubd 13019	. . . . 5 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - ( I - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ I ) / ( 2 ^ ( I - 1 ) ) ) )
14		exp1 12866	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
15	6, 14	mp1i 13	. . . . 5 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( I e. NN -> ( ( 2 ^ I ) / ( 2 ^ ( I - 1 ) ) ) = 2 )
17	1, 16	syl5breqr 4691	. . 3 |- ( I e. NN -> 1 < ( ( 2 ^ I ) / ( 2 ^ ( I - 1 ) ) ) )
18		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> 2 e. NN )
20		nnm1nn0 11334	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> ( I - 1 ) e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 13030	. . . . 5 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) e. NN )
22	21	nnrpd 11870	. . . 4 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) e. RR+ )
23		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( I e. NN -> I e. NN0 )
25		zexpcl 12875	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> ( 2 ^ I ) e. ZZ )
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . 5 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ I ) e. ZZ )
27	26	zred 11482	. . . 4 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ I ) e. RR )
28		divgt1b 42303	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) e. RR+ /\ ( 2 ^ I ) e. RR ) -> ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) < ( 2 ^ I ) <-> 1 < ( ( 2 ^ I ) / ( 2 ^ ( I - 1 ) ) ) ) )
29	22, 27, 28	syl2anc 693	. . 3 |- ( I e. NN -> ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) < ( 2 ^ I ) <-> 1 < ( ( 2 ^ I ) / ( 2 ^ ( I - 1 ) ) ) ) )
30	17, 29	mpbird 247	. 2 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) < ( 2 ^ I ) )
31	21	nnzd 11481	. . 3 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) e. ZZ )
32		zltlem1 11430	. . 3 |- ( ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ I ) e. ZZ ) -> ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) < ( 2 ^ I ) <-> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ I ) - 1 ) ) )
33	31, 26, 32	syl2anc 693	. 2 |- ( I e. NN -> ( ( 2 ^ ( I - 1 ) ) < ( 2 ^ I ) <-> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ I ) - 1 ) ) )
34	30, 33	mpbid 222	1 |- ( I e. NN -> ( 2 ^ ( I - 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ I ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  42361