Theorem reclem2pr 9870

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem2pr	|- ( A e. P. -> B e. P. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem2pr

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 9812	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A C. Q. )
2		pssnel 4039	. . . . . 6 |- ( A C. Q. -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) )
3		recclnq 9788	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
4		nsmallnq 9799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> E. z z <Q ( *Q ` x ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Q. -> E. z z <Q ( *Q ` x ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z <Q ( *Q ` x ) )
7		recrecnq 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) = x )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> x e. A ) )
9	8	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. Q. -> ( -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> -. x e. A ) )
10	9	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. Q. -> ( ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) <-> ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. x e. A ) ) )
11		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( *Q ` x ) e. _V
12		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( *Q ` x ) -> ( z <Q y <-> z <Q ( *Q ` x ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( *Q ` x ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( *Q ` x ) ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( *Q ` x ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) )
16	12, 15	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) ) )
17	11, 16	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) -> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
18	10, 17	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. x e. A ) -> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
20		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <Q y <-> z <Q y ) )
21	20	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
22	21	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
23		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
24	19, 22, 23	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B <-> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
25	18, 24	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Q. -> ( ( z <Q ( *Q ` x ) /\ -. x e. A ) -> z e. B ) )
26	25	expcomd 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Q. -> ( -. x e. A -> ( z <Q ( *Q ` x ) -> z e. B ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( z <Q ( *Q ` x ) -> z e. B ) )
28	27	eximdv 1846	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( E. z z <Q ( *Q ` x ) -> E. z z e. B ) )
29	6, 28	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z e. B )
30		n0 3931	. . . . . . . 8 |- ( B =/= (/) <-> E. z z e. B )
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) )
32	31	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) )
33	1, 2, 32	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. P. -> B =/= (/) )
34		0pss 4013	. . . . 5 |- ( (/) C. B <-> B =/= (/) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . 4 |- ( A e. P. -> (/) C. B )
36		prn0 9811	. . . . . . 7 |- ( A e. P. -> A =/= (/) )
37		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. )
38		recrecnq 9789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) = z )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A <-> z e. A ) )
40	39	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) )
42		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( *Q ` z ) e. _V
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( *Q ` z ) -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` ( *Q ` z ) ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( *Q ` x ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) )
45	44	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) ) )
46	42, 45	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) )
47	41, 46	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) ) )
48	47	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) )
49		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( *Q ` x ) e. Q. )
50		dmrecnq 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom *Q = Q.
51		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. (/) e. Q.
52	50, 51	ndmfvrcl 6219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> x e. Q. )
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> x e. Q. )
54		ltrnq 9801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) )
55		prcdnq 9815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) -> ( *Q ` y ) e. A ) )
56	54, 55	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x <Q y -> ( *Q ` y ) e. A ) )
57	56	alrimiv 1855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> A. y ( x <Q y -> ( *Q ` y ) e. A ) )
58	23	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. B <-> E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
59		exanali 1786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> -. A. y ( x <Q y -> ( *Q ` y ) e. A ) )
60	58, 59	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. B <-> -. A. y ( x <Q y -> ( *Q ` y ) e. A ) )
61	60	con2bii 347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( x <Q y -> ( *Q ` y ) e. A ) <-> -. x e. B )
62	57, 61	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> -. x e. B )
63	53, 62	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
64	63	eximi 1762	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
65	48, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
66	65	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> ( z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) )
67	66	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( E. z z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) )
68		n0 3931	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
69		nss 3663	. . . . . . . 8 |- ( -. Q. C_ B <-> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
70	67, 68, 69	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( A e. P. -> ( A =/= (/) -> -. Q. C_ B ) )
71	36, 70	mpd 15	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> -. Q. C_ B )
72		ltrelnq 9748	. . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
73	72	brel 5168	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <Q y -> ( x e. Q. /\ y e. Q. ) )
74	73	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q y -> x e. Q. )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> x e. Q. )
76	75	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> x e. Q. )
77	58, 76	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> x e. Q. )
78	77	ssriv 3607	. . . . . 6 |- B C_ Q.
79	71, 78	jctil 560	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) )
80		dfpss3 3693	. . . . 5 |- ( B C. Q. <-> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) )
81	79, 80	sylibr 224	. . . 4 |- ( A e. P. -> B C. Q. )
82	35, 81	jca 554	. . 3 |- ( A e. P. -> ( (/) C. B /\ B C. Q. ) )
83		ltsonq 9791	. . . . . . . . . . . 12 |- <Q Or Q.
84	83, 72	sotri 5523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z <Q x /\ x <Q y ) -> z <Q y )
85	84	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( z <Q x -> ( x <Q y -> z <Q y ) )
86	85	anim1d 588	. . . . . . . . 9 |- ( z <Q x -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
87	86	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( z <Q x -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
88	87, 58, 24	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( z <Q x -> ( x e. B -> z e. B ) )
89	88	com12 32	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( z <Q x -> z e. B ) )
90	89	alrimiv 1855	. . . . 5 |- ( x e. B -> A. z ( z <Q x -> z e. B ) )
91		nfe1 2027	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A )
92	91	nfab 2769	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
93	23, 92	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
94		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y x <Q z
95	93, 94	nfrex 3007	. . . . . . 7 |- F/ y E. z e. B x <Q z
96		19.8a 2052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> E. y ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
97	96, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> z e. B )
98	97	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x <Q z /\ z <Q y ) /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> z e. B )
99		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x <Q z /\ z <Q y ) /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> x <Q z )
100	98, 99	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x <Q z /\ z <Q y ) /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z e. B /\ x <Q z ) )
101	100	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( ( x <Q z /\ z <Q y ) -> ( z e. B /\ x <Q z ) ) )
102	101	eximdv 1846	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( E. z ( x <Q z /\ z <Q y ) -> E. z ( z e. B /\ x <Q z ) ) )
103		ltbtwnnq 9800	. . . . . . . . 9 |- ( x <Q y <-> E. z ( x <Q z /\ z <Q y ) )
104		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B x <Q z <-> E. z ( z e. B /\ x <Q z ) )
105	102, 103, 104	3imtr4g 285	. . . . . . . 8 |- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( x <Q y -> E. z e. B x <Q z ) )
106	105	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> E. z e. B x <Q z )
107	95, 106	exlimi 2086	. . . . . 6 |- ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> E. z e. B x <Q z )
108	58, 107	sylbi 207	. . . . 5 |- ( x e. B -> E. z e. B x <Q z )
109	90, 108	jca 554	. . . 4 |- ( x e. B -> ( A. z ( z <Q x -> z e. B ) /\ E. z e. B x <Q z ) )
110	109	rgen 2922	. . 3 |- A. x e. B ( A. z ( z <Q x -> z e. B ) /\ E. z e. B x <Q z )
111	82, 110	jctir 561	. 2 |- ( A e. P. -> ( ( (/) C. B /\ B C. Q. ) /\ A. x e. B ( A. z ( z <Q x -> z e. B ) /\ E. z e. B x <Q z ) ) )
112		elnp 9809	. 2 |- ( B e. P. <-> ( ( (/) C. B /\ B C. Q. ) /\ A. x e. B ( A. z ( z <Q x -> z e. B ) /\ E. z e. B x <Q z ) ) )
113	111, 112	sylibr 224	1 |- ( A e. P. -> B e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Q.cnq 9674   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  reclem3pr  9871  reclem4pr  9872  recexpr  9873