Theorem eulerpartlemr 30436

Description: Lemma for eulerpart 30444. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemr	|- O = ( ( T i^i R ) i^i P )

Distinct variable groups:   f, k, n, z   f, J, n   f, N   g, n, P

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, k, o, r)   R( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   F( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   H( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   J( x, y, z, g, k, o, r)   M( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   N( x, y, z, g, k, n, o, r)   O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemr

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . 4 |- ( h e. ( T i^i R ) <-> ( h e. T /\ h e. R ) )
2	1	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( h e. ( T i^i R ) /\ h e. P ) <-> ( ( h e. T /\ h e. R ) /\ h e. P ) )
3		elin 3796	. . 3 |- ( h e. ( ( T i^i R ) i^i P ) <-> ( h e. ( T i^i R ) /\ h e. P ) )
4		eulerpart.p	. . . . 5 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
5		eulerpart.o	. . . . 5 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
6		eulerpart.d	. . . . 5 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
7	4, 5, 6	eulerpartlemo 30427	. . . 4 |- ( h e. O <-> ( h e. P /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) )
8		cnveq 5296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = h -> `' f = `' h )
9	8	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = h -> ( `' f " NN ) = ( `' h " NN ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = h -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' h " NN ) e. Fin ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = h -> ( f ` k ) = ( h ` k ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = h -> ( ( f ` k ) x. k ) = ( ( h ` k ) x. k ) )
13	12	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = h -> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( h ` k ) x. k ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = h -> ( sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( h ` k ) x. k ) = N ) )
15	10, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( `' h " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( h ` k ) x. k ) = N ) ) )
16	15, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h e. P <-> ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( ( `' h " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( h ` k ) x. k ) = N ) ) )
17	16	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. P -> h e. ( NN0 ^m NN ) )
18		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' h " NN ) C_ dom h
19		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 e. _V
20		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
21	19, 20	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( NN0 ^m NN ) <-> h : NN --> NN0 )
22		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : NN --> NN0 -> dom h = NN )
23	21, 22	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h e. ( NN0 ^m NN ) -> dom h = NN )
24	18, 23	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( NN0 ^m NN ) -> ( `' h " NN ) C_ NN )
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. P -> ( `' h " NN ) C_ NN )
26	25	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. P /\ n e. ( `' h " NN ) ) -> n e. NN )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( h e. P -> A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN )
28	27	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( h e. P -> ( A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) )
29	17	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( h e. P -> ( ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) <-> ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) ) )
30	16	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. P -> ( ( `' h " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( h ` k ) x. k ) = N ) )
31	30	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( h e. P -> ( `' h " NN ) e. Fin )
32	31	biantrud 528	. . . . . . . 8 |- ( h e. P -> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) <-> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) ) )
33	28, 29, 32	3bitrd 294	. . . . . . 7 |- ( h e. P -> ( A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n <-> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) ) )
34		dfss3 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' h " NN ) n e. J )
35		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
36	35	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
37		eulerpart.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
38	36, 37	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
39	38	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' h " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
40		r19.26 3064	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( `' h " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) )
41	34, 39, 40	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' h " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) )
42	41	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' h " NN ) C_ J ) <-> ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) )
43	42	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' h " NN ) C_ J ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) <-> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( A. n e. ( `' h " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) )
44	33, 43	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( h e. P -> ( A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n <-> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' h " NN ) C_ J ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) ) )
45	9	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( ( `' f " NN ) C_ J <-> ( `' h " NN ) C_ J ) )
46		eulerpart.t	. . . . . . . 8 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
47	45, 46	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( h e. T <-> ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' h " NN ) C_ J ) )
48		vex 3203	. . . . . . . 8 |- h e. _V
49		eulerpart.r	. . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
50	48, 10, 49	elab2 3354	. . . . . . 7 |- ( h e. R <-> ( `' h " NN ) e. Fin )
51	47, 50	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( h e. T /\ h e. R ) <-> ( ( h e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' h " NN ) C_ J ) /\ ( `' h " NN ) e. Fin ) )
52	44, 51	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( h e. P -> ( A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n <-> ( h e. T /\ h e. R ) ) )
53	52	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( h e. P /\ A. n e. ( `' h " NN ) -. 2 || n ) <-> ( h e. P /\ ( h e. T /\ h e. R ) ) )
54		ancom 466	. . . 4 |- ( ( h e. P /\ ( h e. T /\ h e. R ) ) <-> ( ( h e. T /\ h e. R ) /\ h e. P ) )
55	7, 53, 54	3bitri 286	. . 3 |- ( h e. O <-> ( ( h e. T /\ h e. R ) /\ h e. P ) )
56	2, 3, 55	3bitr4ri 293	. 2 |- ( h e. O <-> h e. ( ( T i^i R ) i^i P ) )
57	56	eqriv 2619	1 |- O = ( ( T i^i R ) i^i P )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983  bitscbits 15141  𝟭cind 30072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)