Theorem faclbnd5 13085

Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider K and M to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times N-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd5	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) < ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		reexpcl 12877	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ K e. NN0 ) -> ( N ^ K ) e. RR )
3	1, 2	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( N ^ K ) e. RR )
4	3	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N ^ K ) e. RR )
5		nnre 11027	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
6		reexpcl 12877	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
7	5, 6	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
8		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ^ K ) e. RR /\ ( M ^ N ) e. RR ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) e. RR )
9	4, 7, 8	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( M e. NN /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) e. RR )
10	9	anandirs 874	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) e. RR )
11		2nn 11185	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
12		nn0sqcl 12887	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( K ^ 2 ) e. NN0 )
13		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ ( K ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN )
14	11, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN )
15		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
16		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M + K ) e. NN0 )
17	16	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M + K ) e. NN0 )
18	15, 17	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( M + K ) e. NN0 )
19		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ ( M + K ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + K ) ) e. NN )
20	18, 19	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ ( K e. NN0 /\ M e. NN ) ) -> ( M ^ ( M + K ) ) e. NN )
21	20	anabss7 862	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( M ^ ( M + K ) ) e. NN )
22		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN /\ ( M ^ ( M + K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN )
23	14, 21, 22	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ M e. NN ) ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN )
24	23	anabss5 857	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN )
25	24	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. RR )
26		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
28		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
29	25, 27, 28	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
30		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
31		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) e. RR )
32	30, 29, 31	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) e. RR )
33		faclbnd4 13084	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
34	15, 33	syl3an3 1361	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
35	34	3coml 1272	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
36	35	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
37		1lt2 11194	. . . . . 6 |- 1 < 2
38		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. NN )
39	24, 26, 38	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. NN )
40	39	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
41		ltmulgt12 10884	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 1 < 2 <-> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) < ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) ) )
42	30, 41	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 1 < 2 <-> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) < ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) ) )
43	29, 40, 42	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < 2 <-> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) < ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) ) )
44	37, 43	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) < ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) )
45	10, 29, 32, 36, 44	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) < ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) )
46	24	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. CC )
47	26	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
48		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
49		mulass 10024	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. CC /\ ( ! ` N ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) )
50	48, 49	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. CC /\ ( ! ` N ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) )
51	46, 47, 50	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) ) )
52	45, 51	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) < ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
53	52	3impa 1259	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) < ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )
54	53	3comr 1273	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) < ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061

This theorem is referenced by: (None)