Theorem faccl 13070

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Proof of Theorem faccl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	eleq1d 2686	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` 0 ) e. NN ) )
3		fveq2 6191	. . 3 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
4	3	eleq1d 2686	. 2 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` k ) e. NN ) )
5		fveq2 6191	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
6	5	eleq1d 2686	. 2 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
7		fveq2 6191	. . 3 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
8	7	eleq1d 2686	. 2 |- ( j = N -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. NN ) )
9		fac0 13063	. . 3 |- ( ! ` 0 ) = 1
10		1nn 11031	. . 3 |- 1 e. NN
11	9, 10	eqeltri 2697	. 2 |- ( ! ` 0 ) e. NN
12		facp1 13065	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
14		nn0p1nn 11332	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
15		nnmulcl 11043	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
16	14, 15	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
17	13, 16	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
18	17	expcom 451	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 11472	1 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  faccld  13071  facmapnn  13072  facne0  13073  facdiv  13074  facndiv  13075  facwordi  13076  faclbnd  13077  faclbnd2  13078  faclbnd3  13079  faclbnd4lem1  13080  faclbnd5  13085  faclbnd6  13086  facubnd  13087  facavg  13088  bcrpcl  13095  bccmpl  13096  bcn0  13097  bcn1  13100  bcm1k  13102  bcval5  13105  permnn  13113  4bc2eq6  13116  hashf1  13241  hashfac  13242  bcfallfac  14775  fallfacfac  14776  eftcl  14804  reeftcl  14805  eftabs  14806  efcllem  14808  ef0lem  14809  ege2le3  14820  efcj  14822  efaddlem  14823  eftlub  14839  effsumlt  14841  eflegeo  14851  ef01bndlem  14914  eirrlem  14932  dvdsfac  15048  lcmflefac  15361  prmfac1  15431  pcfac  15603  pcbc  15604  infpnlem1  15614  infpnlem2  15615  prmunb  15618  prmgaplem1  15753  prmgaplem2  15754  gexcl3  18002  aaliou3lem1  24097  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem3  24099  aaliou3lem8  24100  aaliou3lem5  24102  aaliou3lem6  24103  aaliou3lem7  24104  aaliou3lem9  24105  taylfvallem1  24111  taylply2  24122  taylply  24123  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  advlogexp  24401  birthdaylem2  24679  wilthlem3  24796  wilth  24797  chtublem  24936  logfacubnd  24946  logfaclbnd  24947  logfacbnd3  24948  logfacrlim  24949  logexprlim  24950  bcmono  25002  bposlem3  25011  vmadivsum  25171  subfacval2  31169  subfaclim  31170  subfacval3  31171  bcprod  31624  faclim2  31634  bcccl  38538  bcc0  38539  bccp1k  38540  binomcxplemwb  38547  dvnxpaek  40157  wallispi2lem2  40289  stirlinglem2  40292  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  pgrple2abl  42146