Theorem nngt0d 11064

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 11049	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   0cc0 9936   < clt 10074   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12996  faclbnd5  13085  facubnd  13087  harmonic  14591  efcllem  14808  ege2le3  14820  eftlub  14839  eflegeo  14851  eirrlem  14932  bitsfzo  15157  sqgcd  15278  prmind2  15398  nprm  15401  isprm5  15419  divdenle  15457  qnumgt0  15458  hashdvds  15480  odzdvds  15500  pythagtriplem11  15530  pythagtriplem13  15532  pythagtriplem19  15538  pcadd  15593  pcfaclem  15602  qexpz  15605  pockthlem  15609  pockthg  15610  prmreclem1  15620  prmreclem5  15624  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  4sqlem16  15664  vdwlem3  15687  vdwlem9  15693  psgnunilem3  17916  pgpfaclem2  18481  fvmptnn04ifd  20658  lebnumii  22765  dyadf  23359  dyadovol  23361  dyaddisjlem  23363  dyadmaxlem  23365  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  itg2gt0  23527  itg2cnlem2  23529  dgrcolem2  24030  leibpi  24669  log2tlbnd  24672  birthdaylem3  24680  amgm  24717  emcllem2  24723  harmonicbnd4  24737  lgamgulmlem1  24755  basellem1  24807  basellem4  24810  basellem6  24812  dvdsflf1o  24913  fsumfldivdiaglem  24915  fsumvma2  24939  chpchtsum  24944  perfectlem2  24955  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem6  25014  lgsqrlem4  25074  lgseisenlem1  25100  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2sqlem8  25151  chebbnd1lem3  25160  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem3  25180  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0re  25202  logdivbnd  25245  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  crctcsh  26716  numclwwlkovf2ex  27219  minvecolem4  27736  eulerpartlemgc  30424  subfaclim  31170  cvmliftlem2  31268  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  cvmliftlem10  31276  cvmliftlem13  31278  knoppndvlem18  32520  knoppndvlem19  32521  knoppndvlem21  32523  poimirlem12  33421  poimirlem14  33423  poimirlem22  33431  opnmbllem0  33445  mblfinlem2  33447  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  rmxypos  37514  jm2.17b  37528  jm2.17c  37529  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  jm3.1lem1  37584  jm3.1lem2  37585  jm3.1lem3  37586  relexpxpmin  38009  hashnzfz2  38520  sumnnodd  39862  stoweidlem1  40218  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stoweidlem38  40255  stoweidlem42  40259  stoweidlem44  40261  stoweidlem51  40268  stoweidlem59  40276  stirlinglem3  40293  stirlinglem15  40305  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem2  40321  fourierdlem11  40335  fourierdlem14  40338  fourierdlem20  40344  fourierdlem25  40349  fourierdlem37  40361  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem64  40387  fourierdlem73  40396  fourierdlem79  40402  fourierdlem93  40416  etransclem35  40486  etransclem48  40499  qndenserrnbllem  40514  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  lighneallem4a  41525  proththdlem  41530  ztprmneprm  42125  expnegico01  42308  dignnld  42397