Theorem fdc1 33542

Description: Variant of fdc 33541 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc1.1	|- A e. _V
fdc1.2	|- M e. ZZ
fdc1.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fdc1.4	|- N = ( M + 1 )
fdc1.5	|- ( a = ( f ` M ) -> ( ze <-> si ) )
fdc1.6	|- ( a = ( f ` ( k - 1 ) ) -> ( ph <-> ps ) )
fdc1.7	|- ( b = ( f ` k ) -> ( ps <-> ch ) )
fdc1.8	|- ( a = ( f ` n ) -> ( th <-> ta ) )
fdc1.9	|- ( et -> E. a e. A ze )
fdc1.10	|- ( et -> R Fr A )
fdc1.11	|- ( ( et /\ a e. A ) -> ( th \/ E. b e. A ph ) )
fdc1.12	|- ( ( ( et /\ ph ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b R a )

Assertion

Ref	Expression
fdc1	|- ( et -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, f, n   R, a, b   M, a, b, f, k, n   Z, a, b, n   N, a, b, f, k, n   ph, f, k   ps, a   ch, a, b, n   th, f, n   ta, a, b   et, a, b, f, n   ze, b, f, n   si, a

Allowed substitution hints:   ph( n, a, b)   ps( f, k, n, b)   ch( f, k)   th( k, a, b)   ta( f, k, n)   et( k)   ze( k, a)   si( f, k, n, b)   A( k)   R( f, k, n)   Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( c = a -> ( c e. A <-> a e. A ) )
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( c = a -> ( ( et /\ c e. A ) <-> ( et /\ a e. A ) ) )
3		sbceq2a 3447	. . . . 5 |- ( c = a -> ( [. c / a ]. ze <-> ze ) )
4	2, 3	anbi12d 747	. . . 4 |- ( c = a -> ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) <-> ( ( et /\ a e. A ) /\ ze ) ) )
5	4	imbi1d 331	. . 3 |- ( c = a -> ( ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) ) <-> ( ( ( et /\ a e. A ) /\ ze ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) ) ) )
6		fdc1.1	. . . . . 6 |- A e. _V
7		fdc1.2	. . . . . 6 |- M e. ZZ
8		fdc1.3	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9		fdc1.4	. . . . . 6 |- N = ( M + 1 )
10		sbsbc 3439	. . . . . . 7 |- ( [ d / a ] ph <-> [. d / a ]. ph )
11		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ a ps
12		fdc1.6	. . . . . . . 8 |- ( a = ( f ` ( k - 1 ) ) -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	sbhypf 3253	. . . . . . 7 |- ( d = ( f ` ( k - 1 ) ) -> ( [ d / a ] ph <-> ps ) )
14	10, 13	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( d = ( f ` ( k - 1 ) ) -> ( [. d / a ]. ph <-> ps ) )
15		fdc1.7	. . . . . 6 |- ( b = ( f ` k ) -> ( ps <-> ch ) )
16		sbsbc 3439	. . . . . . 7 |- ( [ d / a ] th <-> [. d / a ]. th )
17		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ a ta
18		fdc1.8	. . . . . . . 8 |- ( a = ( f ` n ) -> ( th <-> ta ) )
19	17, 18	sbhypf 3253	. . . . . . 7 |- ( d = ( f ` n ) -> ( [ d / a ] th <-> ta ) )
20	16, 19	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( d = ( f ` n ) -> ( [. d / a ]. th <-> ta ) )
21		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( et /\ ( c e. A /\ [. c / a ]. ze ) ) -> c e. A )
22		fdc1.10	. . . . . . 7 |- ( et -> R Fr A )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( et /\ ( c e. A /\ [. c / a ]. ze ) ) -> R Fr A )
24		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ a ( et /\ d e. A )
25		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . 10 |- F/ a [. d / a ]. th
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ a A
27		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ a [. d / a ]. ph
28	26, 27	nfrex 3007	. . . . . . . . . 10 |- F/ a E. b e. A [. d / a ]. ph
29	25, 28	nfor 1834	. . . . . . . . 9 |- F/ a ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph )
30	24, 29	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ a ( ( et /\ d e. A ) -> ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph ) )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( a e. A <-> d e. A ) )
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( et /\ a e. A ) <-> ( et /\ d e. A ) ) )
33		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( th <-> [. d / a ]. th ) )
34		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( ph <-> [. d / a ]. ph ) )
35	34	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( E. b e. A ph <-> E. b e. A [. d / a ]. ph ) )
36	33, 35	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( th \/ E. b e. A ph ) <-> ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph ) ) )
37	32, 36	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( ( ( et /\ a e. A ) -> ( th \/ E. b e. A ph ) ) <-> ( ( et /\ d e. A ) -> ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph ) ) ) )
38		fdc1.11	. . . . . . . 8 |- ( ( et /\ a e. A ) -> ( th \/ E. b e. A ph ) )
39	30, 37, 38	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ( et /\ d e. A ) -> ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph ) )
40	39	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( et /\ ( c e. A /\ [. c / a ]. ze ) ) /\ d e. A ) -> ( [. d / a ]. th \/ E. b e. A [. d / a ]. ph ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ a et
42	41, 27	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ a ( et /\ [. d / a ]. ph )
43		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ a ( d e. A /\ b e. A )
44	42, 43	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ a ( ( et /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) )
45		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ a b R d
46	44, 45	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ a ( ( ( et /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) ) -> b R d )
47	34	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( ( et /\ ph ) <-> ( et /\ [. d / a ]. ph ) ) )
48	31	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( ( a e. A /\ b e. A ) <-> ( d e. A /\ b e. A ) ) )
49	47, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( ( et /\ ph ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) <-> ( ( et /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) ) ) )
50		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( b R a <-> b R d ) )
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( ( ( ( et /\ ph ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b R a ) <-> ( ( ( et /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) ) -> b R d ) ) )
52		fdc1.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ( et /\ ph ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b R a )
53	46, 51, 52	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( et /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) ) -> b R d )
54	53	adantllr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( et /\ ( c e. A /\ [. c / a ]. ze ) ) /\ [. d / a ]. ph ) /\ ( d e. A /\ b e. A ) ) -> b R d )
55	6, 7, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 23, 40, 54	fdc 33541	. . . . 5 |- ( ( et /\ ( c e. A /\ [. c / a ]. ze ) ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( ( f ` M ) = c /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )
56	55	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( ( f ` M ) = c /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )
57		idd 24	. . . . . . 7 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( f : ( M ... n ) --> A -> f : ( M ... n ) --> A ) )
58		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` M ) e. _V
59		fdc1.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( f ` M ) -> ( ze <-> si ) )
60	58, 59	sbcie 3470	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. ( f ` M ) / a ]. ze <-> si )
61		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` M ) = c -> ( [. ( f ` M ) / a ]. ze <-> [. c / a ]. ze ) )
62	60, 61	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` M ) = c -> ( [. c / a ]. ze <-> si ) )
63	62	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 |- ( [. c / a ]. ze -> ( ( f ` M ) = c -> si ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( ( f ` M ) = c -> si ) )
65	64	anim1d 588	. . . . . . 7 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( ( ( f ` M ) = c /\ ta ) -> ( si /\ ta ) ) )
66		idd 24	. . . . . . 7 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( A. k e. ( N ... n ) ch -> A. k e. ( N ... n ) ch ) )
67	57, 65, 66	3anim123d 1406	. . . . . 6 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( ( f ` M ) = c /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) -> ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) ) )
68	67	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( ( f ` M ) = c /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) -> E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) ) )
69	68	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> ( E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( ( f ` M ) = c /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) ) )
70	56, 69	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( et /\ c e. A ) /\ [. c / a ]. ze ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )
71	5, 70	chvarv 2263	. 2 |- ( ( ( et /\ a e. A ) /\ ze ) -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )
72		fdc1.9	. 2 |- ( et -> E. a e. A ze )
73	71, 72	r19.29a 3078	1 |- ( et -> E. n e. Z E. f ( f : ( M ... n ) --> A /\ ( si /\ ta ) /\ A. k e. ( N ... n ) ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   [wsb 1880   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)