Theorem seqpo 33543

Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
seqpo	|- ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) -> ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) <-> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, n, s   A, m, n, s   R, m, n, s

Proof of Theorem seqpo

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( m + 1 ) -> ( F ` p ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
2	1	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( m + 1 ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` p ) <-> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
3	2	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( p = ( m + 1 ) -> ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` p ) ) <-> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( p = q -> ( F ` p ) = ( F ` q ) )
5	4	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( p = q -> ( ( F ` m ) R ( F ` p ) <-> ( F ` m ) R ( F ` q ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( p = q -> ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` p ) ) <-> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` q ) ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( F ` p ) = ( F ` ( q + 1 ) ) )
8	7	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` p ) <-> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` p ) ) <-> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( p = n -> ( F ` p ) = ( F ` n ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( p = n -> ( ( F ` m ) R ( F ` p ) <-> ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( p = n -> ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` p ) ) <-> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` n ) ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = m -> ( F ` s ) = ( F ` m ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = m -> ( s + 1 ) = ( m + 1 ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = m -> ( F ` ( s + 1 ) ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
16	13, 15	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = m -> ( ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) <-> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
17	16	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) )
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( m + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
20		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
21		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m + 1 ) e. NN <-> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) /\ ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q e. NN <-> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) /\ ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> q e. NN )
26	25	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> q e. NN ) )
27	22, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> q e. NN ) )
28	27	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m e. NN /\ q e. NN ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = q -> ( F ` s ) = ( F ` q ) )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = q -> ( s + 1 ) = ( q + 1 ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = q -> ( F ` ( s + 1 ) ) = ( F ` ( q + 1 ) ) )
32	29, 31	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = q -> ( ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) <-> ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) )
33	32	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ q e. NN ) -> ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) )
34	33	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) -> ( ( m e. NN /\ q e. NN ) -> ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) )
36		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> A /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. A )
37	36	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> A /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( F ` m ) e. A )
38		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> A /\ q e. NN ) -> ( F ` q ) e. A )
39	38	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> A /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( F ` q ) e. A )
40		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. NN )
41		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN --> A /\ ( q + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( q + 1 ) ) e. A )
42	40, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> A /\ q e. NN ) -> ( F ` ( q + 1 ) ) e. A )
43	42	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> A /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( F ` ( q + 1 ) ) e. A )
44	37, 39, 43	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> A /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` m ) e. A /\ ( F ` q ) e. A /\ ( F ` ( q + 1 ) ) e. A ) )
45		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Po A /\ ( ( F ` m ) e. A /\ ( F ` q ) e. A /\ ( F ` ( q + 1 ) ) e. A ) ) -> ( ( ( F ` m ) R ( F ` q ) /\ ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) )
46	45	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Po A /\ ( ( F ` m ) e. A /\ ( F ` q ) e. A /\ ( F ` ( q + 1 ) ) e. A ) ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
47	46	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R Po A -> ( ( ( F ` m ) e. A /\ ( F ` q ) e. A /\ ( F ` ( q + 1 ) ) e. A ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) ) )
48	44, 47	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Po A -> ( ( F : NN --> A /\ ( m e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) ) )
49	48	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) -> ( ( m e. NN /\ q e. NN ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) -> ( ( m e. NN /\ q e. NN ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` ( q + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) ) )
51	35, 50	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) -> ( ( m e. NN /\ q e. NN ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
52	28, 51	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) -> ( ( m e. NN /\ q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
53	52	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
54	53	anasss 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
55	54	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( ( F ` m ) R ( F ` q ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
56	55	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` q ) ) -> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` ( q + 1 ) ) ) ) )
57	3, 6, 9, 12, 19, 56	uzind4 11746	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )
59	58	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) /\ m e. NN ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) )
60	59	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) )
61	60	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) /\ A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) -> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) )
62	61	ex 450	. 2 |- ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) -> ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) -> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )
63		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( m = s -> ( m + 1 ) = ( s + 1 ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( m = s -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = s -> ( F ` m ) = ( F ` s ) )
66	65	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( m = s -> ( ( F ` m ) R ( F ` n ) <-> ( F ` s ) R ( F ` n ) ) )
67	64, 66	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( m = s -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ( F ` s ) R ( F ` n ) ) )
68	67	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( s e. NN -> ( A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ( F ` s ) R ( F ` n ) ) )
69	68	imdistanri 727	. . . 4 |- ( ( A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) /\ s e. NN ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ( F ` s ) R ( F ` n ) /\ s e. NN ) )
70		peano2nn 11032	. . . . . . 7 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. NN )
71	70	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. ZZ )
72		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( ( s + 1 ) e. ZZ -> ( s + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = ( s + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( s + 1 ) ) )
75	74	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( n = ( s + 1 ) -> ( ( F ` s ) R ( F ` n ) <-> ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) ) )
76	75	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ( F ` s ) R ( F ` n ) /\ ( s + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ) -> ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) )
77	73, 76	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` ( s + 1 ) ) ( F ` s ) R ( F ` n ) /\ s e. NN ) -> ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) )
78	69, 77	syl 17	. . 3 |- ( ( A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) /\ s e. NN ) -> ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) )
79	78	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) -> A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) )
80	62, 79	impbid1 215	1 |- ( ( R Po A /\ F : NN --> A ) -> ( A. s e. NN ( F ` s ) R ( F ` ( s + 1 ) ) <-> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( F ` m ) R ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  incsequz2  33545