Theorem fin1a2s 9236

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	|- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . 4 |- ( c e. ~P ~P A -> c C_ ~P A )
2		fin12 9235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> x e. FinII )
3		fin23 9211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. FinII -> x e. FinIII )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> x e. FinIII )
5		fin23 9211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ x ) e. FinII -> ( A \ x ) e. FinIII )
6	4, 5	orim12i 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
7	6	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
8		fin1a2lem8 9229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) ) -> A e. FinIII )
9	7, 8	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinIII )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> A e. FinIII )
11		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ ~P A )
12		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> [ C.] Or c )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> [ C.] Or c )
14		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. U. c e. c )
15		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> c C_ ~P A )
16		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ ~P A -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
18		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( x e. Fin -> x e. Fin ) )
19		fin1a2lem13 9234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
22	21	adantlrl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
25	24	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( x e. c /\ -. x e. Fin ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
26	25	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( -. x e. Fin -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
27	26	con4d 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( A \ x ) e. FinII -> x e. Fin ) )
28	18, 27	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> x e. Fin ) )
29	28	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
30	17, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
31	30	impr 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> A. x e. c x e. Fin )
32		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ Fin <-> A. x e. c x e. Fin )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ Fin )
34		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> c =/= (/) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c =/= (/) )
36		fin1a2lem12 9233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( c C_ Fin /\ c =/= (/) ) ) -> -. A e. FinIII )
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. A e. FinIII )
38	37	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> -. A e. FinIII ) )
39	38	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
40	39	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
41	10, 40	mt4d 152	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> U. c e. c )
42	41	exp32 631	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c C_ ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
43	1, 42	syl5 34	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c e. ~P ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
44	43	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) )
45		isfin2 9116	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
46	45	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
47	44, 46	mpbird 247	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   Or wor 5034   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955  Fin^IIcfin2 9101  Fin^IIIcfin3 9103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-fin2 9108  df-fin4 9109  df-fin3 9110

This theorem is referenced by:  fin1a2  9237