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Theorem fin23lem32 9166
Description: Lemma for fin23 9211. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a |- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
fin23lem17.f |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.b |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
fin23lem.c |- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
fin23lem.d |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
fin23lem.e |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem32 |- ( G e. F -> E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) ) )
Distinct variable groups:   g, i, t, u, v, x, z   a, b, i, u, t   F, a, t   w, a, x, z, P, b   v, a, R, b, i, u   U, a, b, i, u, v, z   f, a, Z, b   g, a, G, b, t, f, x
Allowed substitution hints:   P( v, u, t, f, g, i)   Q( x, z, w, v, u, t, f, g, i, a, b)   R( x, z, w, t, f, g)   U( x, w, t, f, g)   F( x, z, w, v, u, f, g, i, b)   G( z, w, v, u, i)   Z( x, z, w, v, u, t, g, i)
Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8 |- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3 fin23lem.b . . . . . . . 8 |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
4 fin23lem.c . . . . . . . 8 |- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
5 fin23lem.d . . . . . . . 8 |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
6 fin23lem.e . . . . . . . 8 |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 9162 . . . . . . 7 |- ( t : om -1-1-> _V -> Z : om -1-1-> _V )
87ad2antrl 764 . . . . . 6 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> Z : om -1-1-> _V )
9 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> t : om -1-1-> _V )
10 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> G e. F )
11 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> U. ran t C_ G )
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 9165 . . . . . . 7 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ G e. F /\ U. ran t C_ G ) -> U. ran Z C. U. ran t )
139, 10, 11, 12syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> U. ran Z C. U. ran t )
14 f1fn 6102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t : om -1-1-> _V -> t Fn om )
15 dffn3 6054 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t Fn om <-> t : om --> ran t )
1614, 15sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( t : om -1-1-> _V -> t : om --> ran t )
1716ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> t : om --> ran t )
18 sspwuni 4611 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran t C_ ~P G <-> U. ran t C_ G )
1918biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. ran t C_ G -> ran t C_ ~P G )
2019ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ran t C_ ~P G )
2117, 20fssd 6057 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> t : om --> ~P G )
22 pwexg 4850 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. F -> ~P G e. _V )
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ~P G e. _V )
24 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
25 f1f 6101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t : om -1-1-> _V -> t : om --> _V )
26 dmfex 7124 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. _V /\ t : om --> _V ) -> om e. _V )
2724, 25, 26sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( t : om -1-1-> _V -> om e. _V )
2827ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> om e. _V )
2923, 28elmapd 7871 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ( t e. ( ~P G ^m om ) <-> t : om --> ~P G ) )
3021, 29mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> t e. ( ~P G ^m om ) )
31 f1f 6101 . . . . . . . . . 10 |- ( Z : om -1-1-> _V -> Z : om --> _V )
328, 31syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> Z : om --> _V )
33 fex 6490 . . . . . . . . 9 |- ( ( Z : om --> _V /\ om e. _V ) -> Z e. _V )
3432, 28, 33syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> Z e. _V )
35 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z )
3635fvmpt2 6291 . . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( ~P G ^m om ) /\ Z e. _V ) -> ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z )
3730, 34, 36syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z )
38 f1eq1 6096 . . . . . . . 8 |- ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V <-> Z : om -1-1-> _V ) )
39 rneq 5351 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z -> ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = ran Z )
4039unieqd 4446 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z -> U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = U. ran Z )
4140psseq1d 3699 . . . . . . . 8 |- ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z -> ( U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t <-> U. ran Z C. U. ran t ) )
4238, 41anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) = Z -> ( ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) <-> ( Z : om -1-1-> _V /\ U. ran Z C. U. ran t ) ) )
4337, 42syl 17 . . . . . 6 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ( ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) <-> ( Z : om -1-1-> _V /\ U. ran Z C. U. ran t ) ) )
448, 13, 43mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( G e. F /\ ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) )
4544ex 450 . . . 4 |- ( G e. F -> ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) )
4645alrimiv 1855 . . 3 |- ( G e. F -> A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) )
47 ovex 6678 . . . . 5 |- ( ~P G ^m om ) e. _V
4847mptex 6486 . . . 4 |- ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) e. _V
49 nfmpt1 4747 . . . . . 6 |- F/_ t ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z )
5049nfeq2 2780 . . . . 5 |- F/ t f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z )
51 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) )
52 f1eq1 6096 . . . . . . . 8 |- ( ( f ` t ) = ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V <-> ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V <-> ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V ) )
5451rneqd 5353 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ran ( f ` t ) = ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) )
5554unieqd 4446 . . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> U. ran ( f ` t ) = U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) )
5655psseq1d 3699 . . . . . . 7 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( U. ran ( f ` t ) C. U. ran t <-> U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) )
5753, 56anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) <-> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) )
5857imbi2d 330 . . . . 5 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) <-> ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) ) )
5950, 58albid 2090 . . . 4 |- ( f = ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) -> ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) <-> A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) ) )
6048, 59spcev 3300 . . 3 |- ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( ( t e. ( ~P G ^m om ) |-> Z ) ` t ) C. U. ran t ) ) -> E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) )
6146, 60syl 17 . 2 |- ( G e. F -> E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) )
62 f1eq1 6096 . . . . . 6 |- ( b = t -> ( b : om -1-1-> _V <-> t : om -1-1-> _V ) )
63 rneq 5351 . . . . . . . 8 |- ( b = t -> ran b = ran t )
6463unieqd 4446 . . . . . . 7 |- ( b = t -> U. ran b = U. ran t )
6564sseq1d 3632 . . . . . 6 |- ( b = t -> ( U. ran b C_ G <-> U. ran t C_ G ) )
6662, 65anbi12d 747 . . . . 5 |- ( b = t -> ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) <-> ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) ) )
67 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( b = t -> ( f ` b ) = ( f ` t ) )
68 f1eq1 6096 . . . . . . 7 |- ( ( f ` b ) = ( f ` t ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V <-> ( f ` t ) : om -1-1-> _V ) )
6967, 68syl 17 . . . . . 6 |- ( b = t -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V <-> ( f ` t ) : om -1-1-> _V ) )
7067rneqd 5353 . . . . . . . 8 |- ( b = t -> ran ( f ` b ) = ran ( f ` t ) )
7170unieqd 4446 . . . . . . 7 |- ( b = t -> U. ran ( f ` b ) = U. ran ( f ` t ) )
7271, 64psseq12d 3701 . . . . . 6 |- ( b = t -> ( U. ran ( f ` b ) C. U. ran b <-> U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) )
7369, 72anbi12d 747 . . . . 5 |- ( b = t -> ( ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) <-> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) )
7466, 73imbi12d 334 . . . 4 |- ( b = t -> ( ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) ) <-> ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) ) )
7574cbvalv 2273 . . 3 |- ( A. b ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) ) <-> A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) )
7675exbii 1774 . 2 |- ( E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) ) <-> E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V /\ U. ran t C_ G ) -> ( ( f ` t ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` t ) C. U. ran t ) ) )
7761, 76sylibr 224 1 |- ( G e. F -> E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V /\ U. ran b C_ G ) -> ( ( f ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( f ` b ) C. U. ran b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065  seq𝜔cseqom 7542   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765
This theorem is referenced by:  fin23lem33  9167
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