Theorem fin23lem28 9162

Description: Lemma for fin23 9211. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a	|- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
fin23lem17.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.b	|- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
fin23lem.c	|- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
fin23lem.d	|- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
fin23lem.e	|- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem28	|- ( t : om -1-1-> _V -> Z : om -1-1-> _V )

Distinct variable groups:   g, i, t, u, v, x, z, a   F, a, t   w, a, x, z, P   v, a, R, i, u   U, a, i, u, v, z   Z, a   g, a

Allowed substitution hints:   P( v, u, t, g, i)   Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)   R( x, z, w, t, g)   U( x, w, t, g)   F( x, z, w, v, u, g, i)   Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem28

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. . 3 |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
2		eqif 4126	. . 3 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) <-> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
3	1, 2	mpbi 220	. 2 |- ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) )
4		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( om \ P ) C_ om
5		ominf 8172	. . . . . . . . . 10 |- -. om e. Fin
6		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
7		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } C_ om
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- P C_ om
9		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P C_ om <-> ( P u. ( om \ P ) ) = om )
10	8, 9	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P u. ( om \ P ) ) = om
11		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> ( P u. ( om \ P ) ) e. Fin )
12	10, 11	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> om e. Fin )
13	12	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Fin -> ( ( om \ P ) e. Fin -> om e. Fin ) )
14	5, 13	mtoi 190	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Fin -> -. ( om \ P ) e. Fin )
15		fin23lem.d	. . . . . . . . . 10 |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
16	15	fin23lem22 9149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om \ P ) C_ om /\ -. ( om \ P ) e. Fin ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
17	4, 14, 16	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( P e. Fin -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ P e. Fin ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
19		f1of1 6136	. . . . . . 7 |- ( R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) -> R : om -1-1-> ( om \ P ) )
20		f1ss 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( R : om -1-1-> ( om \ P ) /\ ( om \ P ) C_ om ) -> R : om -1-1-> om )
21	4, 20	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( R : om -1-1-> ( om \ P ) -> R : om -1-1-> om )
22	18, 19, 21	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ P e. Fin ) -> R : om -1-1-> om )
23		f1co 6110	. . . . . 6 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ R : om -1-1-> om ) -> ( t o. R ) : om -1-1-> _V )
24	22, 23	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ P e. Fin ) -> ( t o. R ) : om -1-1-> _V )
25		f1eq1 6096	. . . . 5 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( Z : om -1-1-> _V <-> ( t o. R ) : om -1-1-> _V ) )
26	24, 25	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ P e. Fin ) -> ( Z = ( t o. R ) -> Z : om -1-1-> _V ) )
27	26	impr 649	. . 3 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) ) -> Z : om -1-1-> _V )
28		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( t ` z ) e. _V
29		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t ` z ) e. _V -> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) e. _V )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) e. _V
31	30	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. z e. P ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) e. _V
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
33	32	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. P ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) e. _V <-> ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P --> _V )
34	31, 33	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P --> _V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t : om -1-1-> _V -> ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P --> _V )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = a -> ( t ` z ) = ( t ` a ) )
37	36	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = a -> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) )
38		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t ` a ) e. _V
39		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t ` a ) e. _V -> ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) e. _V )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) e. _V
41	37, 32, 40	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. P -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) )
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = b -> ( t ` z ) = ( t ` b ) )
44	43	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = b -> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) )
45		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t ` b ) e. _V
46		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t ` b ) e. _V -> ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) e. _V )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) e. _V
48	44, 32, 47	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. P -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) )
49	48	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) )
50	42, 49	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) <-> ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) ) )
51		uneq2 3761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) -> ( |^| ran U u. ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) ) = ( |^| ran U u. ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = a -> ( t ` v ) = ( t ` a ) )
53	52	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = a -> ( |^| ran U C_ ( t ` v ) <-> |^| ran U C_ ( t ` a ) ) )
54	53, 6	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. P <-> ( a e. om /\ |^| ran U C_ ( t ` a ) ) )
55	54	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. P -> |^| ran U C_ ( t ` a ) )
56	55	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> |^| ran U C_ ( t ` a ) )
57		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( |^| ran U C_ ( t ` a ) <-> ( |^| ran U u. ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) ) = ( t ` a ) )
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( |^| ran U u. ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) ) = ( t ` a ) )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = b -> ( t ` v ) = ( t ` b ) )
60	59	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = b -> ( |^| ran U C_ ( t ` v ) <-> |^| ran U C_ ( t ` b ) ) )
61	60, 6	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. P <-> ( b e. om /\ |^| ran U C_ ( t ` b ) ) )
62	61	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. P -> |^| ran U C_ ( t ` b ) )
63	62	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> |^| ran U C_ ( t ` b ) )
64		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( |^| ran U C_ ( t ` b ) <-> ( |^| ran U u. ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) ) = ( t ` b ) )
65	63, 64	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( |^| ran U u. ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) ) = ( t ` b ) )
66	58, 65	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( |^| ran U u. ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) ) = ( |^| ran U u. ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) ) <-> ( t ` a ) = ( t ` b ) ) )
67	51, 66	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) -> ( t ` a ) = ( t ` b ) ) )
68	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. P -> a e. om )
69	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. P -> b e. om )
70	68, 69	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> ( a e. om /\ b e. om ) )
71		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. om /\ b e. om ) ) -> ( ( t ` a ) = ( t ` b ) <-> a = b ) )
72	70, 71	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( t ` a ) = ( t ` b ) <-> a = b ) )
73	67, 72	sylibd 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( t ` a ) \ |^| ran U ) = ( ( t ` b ) \ |^| ran U ) -> a = b ) )
74	50, 73	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) -> a = b ) )
75	74	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( t : om -1-1-> _V -> A. a e. P A. b e. P ( ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) -> a = b ) )
76		dff13 6512	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P -1-1-> _V <-> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P --> _V /\ A. a e. P A. b e. P ( ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` a ) = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) ` b ) -> a = b ) ) )
77	35, 75, 76	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( t : om -1-1-> _V -> ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P -1-1-> _V )
78		fin23lem.c	. . . . . . . . 9 |- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
79	78	fin23lem22 9149	. . . . . . . 8 |- ( ( P C_ om /\ -. P e. Fin ) -> Q : om -1-1-onto-> P )
80		f1of1 6136	. . . . . . . 8 |- ( Q : om -1-1-onto-> P -> Q : om -1-1-> P )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( P C_ om /\ -. P e. Fin ) -> Q : om -1-1-> P )
82	8, 81	mpan 706	. . . . . 6 |- ( -. P e. Fin -> Q : om -1-1-> P )
83		f1co 6110	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) : P -1-1-> _V /\ Q : om -1-1-> P ) -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) : om -1-1-> _V )
84	77, 82, 83	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ -. P e. Fin ) -> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) : om -1-1-> _V )
85		f1eq1 6096	. . . . 5 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( Z : om -1-1-> _V <-> ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) : om -1-1-> _V ) )
86	84, 85	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ -. P e. Fin ) -> ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> Z : om -1-1-> _V ) )
87	86	impr 649	. . 3 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) -> Z : om -1-1-> _V )
88	27, 87	jaodan 826	. 2 |- ( ( t : om -1-1-> _V /\ ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) ) -> Z : om -1-1-> _V )
89	3, 88	mpan2 707	1 |- ( t : om -1-1-> _V -> Z : om -1-1-> _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065  seq_𝜔cseqom 7542   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  fin23lem32  9166