Theorem finxpreclem6 33233

Description: Lemma for ^^ ^^ recursion theorems. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
finxpreclem5.1	|- F = ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) )

Assertion

Ref	Expression
finxpreclem6	|- ( ( N e. om /\ 1o e. N ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   U, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem finxpreclem6

Dummy variables m o y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n e. om <-> N e. om ) )
2		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( n = N -> ( 1o e. n <-> 1o e. N ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( n e. om /\ 1o e. n ) <-> ( N e. om /\ 1o e. N ) ) )
4		anass 681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. y e. ( _V X. U ) ) <-> ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) )
5		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) )
6		finxpreclem5.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F = ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) )
7		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) )
8	6, 7	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x F
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x <. n , y >.
10	8, 9	nfrdg 7510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x rec ( F , <. n , y >. )
11		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x n
12	10, 11	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n )
13	12	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n )
14	13	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x -. (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n )
15	5, 14	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) -> -. (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. ( _V X. U ) <-> y e. ( _V X. U ) ) )
17	16	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. ( _V X. U ) <-> -. y e. ( _V X. U ) ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) <-> ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) <-> ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) ) )
20		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> <. n , x >. = <. n , y >. )
21		rdgeq2 7508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. n , x >. = <. n , y >. -> rec ( F , <. n , x >. ) = rec ( F , <. n , y >. ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> rec ( F , <. n , x >. ) = rec ( F , <. n , y >. ) )
23	22	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) )
24	23	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( (/) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) <-> (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) )
25	24	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( -. (/) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) <-> -. (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) )
26	19, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> -. (/) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) ) <-> ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) -> -. (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) ) )
27		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) <-> ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- n e. _V
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = (/) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` (/) ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = (/) -> ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. <-> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` (/) ) = <. n , x >. ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = o -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) )
32	31	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = o -> ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. <-> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = suc o -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) )
34	33	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = suc o -> ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. <-> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = <. n , x >. ) )
35		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- <. n , x >. e. _V
36	35	rdg0 7517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( rec ( F , <. n , x >. ) ` (/) ) = <. n , x >.
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` (/) ) = <. n , x >. )
38		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( o e. om -> o e. On )
39		rdgsuc 7520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( o e. On -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = ( F ` ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( o e. om -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = ( F ` ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. -> ( F ` ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) ) = ( F ` <. n , x >. ) )
42	40, 41	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( o e. om /\ ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = ( F ` <. n , x >. ) )
43	6	finxpreclem5 33232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( n e. om /\ 1o e. n ) -> ( -. x e. ( _V X. U ) -> ( F ` <. n , x >. ) = <. n , x >. ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( F ` <. n , x >. ) = <. n , x >. )
45	42, 44	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( o e. om /\ ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. ) /\ ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = <. n , x >. )
46	45	expl 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( o e. om -> ( ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. /\ ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = <. n , x >. ) )
47	46	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( o e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` o ) = <. n , x >. -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` suc o ) = <. n , x >. ) ) )
48	30, 32, 34, 37, 47	finds2 7094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. ) )
49		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = m -> ( n e. om <-> m e. om ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = m -> ( ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. <-> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. ) )
52	51	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = m -> ( ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) <-> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. ) ) )
53	49, 52	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = m -> ( ( n e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) ) <-> ( m e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` m ) = <. n , x >. ) ) ) )
54	48, 53	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = m -> ( n e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) ) )
55	54	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = n -> ( n e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) ) )
56	28, 55	vtocle 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. om -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. x e. ( _V X. U ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) )
57	27, 56	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. om -> ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. ) )
58	57	anabsi5 858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) = <. n , x >. )
59		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
60	28, 59	opnzi 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <. n , x >. =/= (/)
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> <. n , x >. =/= (/) )
62	58, 61	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) =/= (/) )
63	62	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> (/) =/= ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) )
64	63	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. x e. ( _V X. U ) ) ) -> -. (/) = ( rec ( F , <. n , x >. ) ` n ) )
65	15, 26, 64	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) -> -. (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) )
66	65	intnand 962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) -> -. ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) ) -> -. ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) )
68		abid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { y | ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) } <-> ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) )
69		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = N -> <. n , y >. = <. N , y >. )
70		rdgeq2 7508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. n , y >. = <. N , y >. -> rec ( F , <. n , y >. ) = rec ( F , <. N , y >. ) )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = N -> rec ( F , <. n , y >. ) = rec ( F , <. N , y >. ) )
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = N -> n = N )
73	71, 72	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = N -> ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) = ( rec ( F , <. N , y >. ) ` N ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = N -> ( (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) <-> (/) = ( rec ( F , <. N , y >. ) ` N ) ) )
75	1, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = N -> ( ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) <-> ( N e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. N , y >. ) ` N ) ) ) )
76	75	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = N -> { y | ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) } = { y | ( N e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. N , y >. ) ` N ) ) } )
77	6	dffinxpf 33222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U ^^ ^^ N ) = { y | ( N e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. N , y >. ) ` N ) ) }
78	76, 77	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = N -> { y | ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) } = ( U ^^ ^^ N ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( y e. { y | ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) } <-> y e. ( U ^^ ^^ N ) ) )
80	68, 79	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = N -> ( y e. ( U ^^ ^^ N ) <-> ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) ) -> ( y e. ( U ^^ ^^ N ) <-> ( n e. om /\ (/) = ( rec ( F , <. n , y >. ) ` n ) ) ) )
82	67, 81	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) ) -> -. y e. ( U ^^ ^^ N ) )
83	82	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( ( n e. om /\ ( 1o e. n /\ -. y e. ( _V X. U ) ) ) -> -. y e. ( U ^^ ^^ N ) ) )
84	4, 83	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( ( n e. om /\ 1o e. n ) /\ -. y e. ( _V X. U ) ) -> -. y e. ( U ^^ ^^ N ) ) )
85	84	expdimp 453	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ 1o e. n ) ) -> ( -. y e. ( _V X. U ) -> -. y e. ( U ^^ ^^ N ) ) )
86	85	con4d 114	. . . . . 6 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ 1o e. n ) ) -> ( y e. ( U ^^ ^^ N ) -> y e. ( _V X. U ) ) )
87	86	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( n = N /\ ( n e. om /\ 1o e. n ) ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) )
88	87	ex 450	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( n e. om /\ 1o e. n ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) ) )
89	3, 88	sylbird 250	. . 3 |- ( n = N -> ( ( N e. om /\ 1o e. N ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) ) )
90	89	vtocleg 3279	. 2 |- ( N e. om -> ( ( N e. om /\ 1o e. N ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) ) )
91	90	anabsi5 858	1 |- ( ( N e. om /\ 1o e. N ) -> ( U ^^ ^^ N ) C_ ( _V X. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   1stc1st 7166   reccrdg 7505   1oc1o 7553   ^^ ^^cfinxp 33220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-finxp 33221

This theorem is referenced by:  finxpsuclem  33234