Theorem fmtnoodd 41445

Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoodd	|- ( N e. NN0 -> -. 2 || (FermatNo ` N ) )

Proof of Theorem fmtnoodd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 e. NN )
3		id 22	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
4	2, 3	nnexpcld 13030	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. NN )
5		nnm1nn0 11334	. . . . . 6 |- ( ( 2 ^ N ) e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. NN0 )
7	2, 6	nnexpcld 13030	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) e. NN )
8	7	nnzd 11481	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) e. ZZ )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( k = ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) )
10	9	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( k = ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
11		fmtno 41441	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
12	10, 11	eqeqan12rd 2640	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ k = ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = (FermatNo ` N ) <-> ( ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) ) )
13		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
14	7	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) e. CC )
15	13, 14	mulcomd 10061	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) x. 2 ) )
16		expm1t 12888	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) x. 2 ) )
17	13, 4, 16	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) x. 2 ) )
18	15, 17	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
19	18	oveq1d 6665	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
20	8, 12, 19	rspcedvd 3317	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = (FermatNo ` N ) )
21		fmtnonn 41443	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. NN )
22	21	nnzd 11481	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. ZZ )
23		odd2np1 15065	. . 3 |- ( (FermatNo ` N ) e. ZZ -> ( -. 2 || (FermatNo ` N ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = (FermatNo ` N ) ) )
24	22, 23	syl 17	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || (FermatNo ` N ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = (FermatNo ` N ) ) )
25	20, 24	mpbird 247	1 |- ( N e. NN0 -> -. 2 || (FermatNo ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   || cdvds 14983  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  41458  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2  41479