fmtnoprmfac1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnoprmfac1 41477

Description: Divisor of Fermat number (special form of Euler's result, see fmtnofac1 41482): Let F_n be a Fermat number. Let p be a prime divisor of F_n. Then p is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnoprmfac1	$/\$ $/\$ FermatNo

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem fmtnoprmfac1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . 7 FermatNo FermatNo
2	1	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ FermatNo FermatNo
3		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
4		fmtnoodd 41445	. . . . . . . . 9 FermatNo
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 FermatNo
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ FermatNo
7	6	pm2.21d 118	. . . . . 6 $/\$ FermatNo
8	2, 7	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ FermatNo
9	8	a1d 25	. . . 4 $/\$ FermatNo
10	9	ex 450	. . 3 FermatNo
11	10	3impd 1281	. 2 $/\$ $/\$ FermatNo
12		simpr1 1067	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
13		neqne 2802	. . . . . . . . . 10
14	13	anim2i 593	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
15		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
17	16	ex 450	. . . . . . 7 $\$
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 $/\$ $/\$ FermatNo $\$
19	18	impcom 446	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $\$
20		simpr3 1069	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo FermatNo
21		fmtnoprmfac1lem 41476	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ FermatNo
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
23		prmnn 15388	. . . . . . . 8
24	23	ad2antll 765	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25		2z 11409	. . . . . . . 8
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	13	necomd 2849	. . . . . . . . 9
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
29		2prm 15405	. . . . . . . . . . . 12
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
31	30	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		prmrp 15424	. . . . . . . . 9 $/\$
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	28, 34	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		odzphi 15501	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37	24, 26, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38		phiprm 15482	. . . . . . . . 9
39	38	ad2antll 765	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
40	39	breq2d 4665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
41		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
43		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	44, 46	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	23	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
53	48, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	47, 53	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
56		nndivides 14990	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
58		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	23	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
63		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
66		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67	3, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68	44, 67	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
69	68	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	65, 71	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
73	62, 63, 72	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
74	73	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	59, 74, 76	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	78	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	57, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82	42, 81	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
84	83	com23 86	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
85	40, 84	sylbid 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
86	37, 85	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$
87	86	3adantr3 1222	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
88	22, 87	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
89	88	ex 450	. 2 $/\$ $/\$ FermatNo
90	11, 89	pm2.61i 176	1 $/\$ $/\$ FermatNo

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

codz 15468

cphi 15469 FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-odz 15470 df-phi 15471 df-pc 15542 df-fmtno 41440

This theorem is referenced by: fmtnoprmfac2lem1 41478

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