Theorem nnexpcld 13030

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 12873	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  bitsp1  15153  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitsfi  15159  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  bitsinv1  15164  2ebits  15169  bitsinvp1  15171  sadcaddlem  15179  sadadd3  15183  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  bitsres  15195  bitsuz  15196  bitsshft  15197  smumullem  15214  smumul  15215  rplpwr  15276  rppwr  15277  pclem  15543  pcprendvds2  15546  pcpre1  15547  pcpremul  15548  pcdvdsb  15573  pcidlem  15576  pcid  15577  pcdvdstr  15580  pcgcd1  15581  pcprmpw2  15586  pcaddlem  15592  pcadd  15593  pcfaclem  15602  pcfac  15603  pcbc  15604  oddprmdvds  15607  prmpwdvds  15608  pockthlem  15609  2expltfac  15799  pgpfi1  18010  sylow1lem1  18013  sylow1lem3  18015  sylow1lem4  18016  sylow1lem5  18017  pgpfi  18020  gexexlem  18255  ablfac1lem  18467  ablfac1b  18469  ablfac1eu  18472  aalioulem2  24088  aalioulem5  24091  aaliou3lem9  24105  isppw2  24841  sgmppw  24922  fsumvma2  24939  pclogsum  24940  chpchtsum  24944  logfacubnd  24946  bposlem1  25009  bposlem5  25013  gausslemma2d  25099  lgseisen  25104  chebbnd1lem1  25158  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0flblem2  25198  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  oddpwdc  30416  eulerpartlemgh  30440  jm3.1lem3  37586  inductionexd  38453  stoweidlem25  40242  stoweidlem45  40262  wallispi2lem1  40288  ovnsubaddlem1  40784  ovolval5lem2  40867  fmtnoodd  41445  fmtnof1  41447  fmtnosqrt  41451  fmtnorec4  41461  odz2prm2pw  41475  fmtnoprmfac1lem  41476  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtnoprmfac2  41479  2pwp1prm  41503  lighneallem1  41522  proththdlem  41530  proththd  41531  pw2m1lepw2m1  42310  nnpw2even  42323  logbpw2m1  42361  nnpw2pmod  42377  nnpw2p  42380  nnolog2flm1  42384  dignn0flhalflem1  42409