fmtnoprmfac2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnoprmfac2 41479

Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 41481): Let F_n be a Fermat number. Let p be a prime divisor of F_n. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnoprmfac2	$/\$ $/\$ FermatNo

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem fmtnoprmfac2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . 7 FermatNo FermatNo
2	1	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ FermatNo FermatNo
3		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . 9
4		fmtnoodd 41445	. . . . . . . . 9 FermatNo
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 FermatNo
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ FermatNo
7	6	pm2.21d 118	. . . . . 6 $/\$ FermatNo
8	2, 7	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ FermatNo
9	8	a1d 25	. . . 4 $/\$ FermatNo
10	9	ex 450	. . 3 FermatNo
11	10	3impd 1281	. 2 $/\$ $/\$ FermatNo
12		simpr1 1067	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
13		neqne 2802	. . . . . . . . . 10
14	13	anim2i 593	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
15		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
17	16	ex 450	. . . . . . 7 $\$
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 $/\$ $/\$ FermatNo $\$
19	18	impcom 446	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $\$
20		simpr3 1069	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo FermatNo
21		fmtnoprmfac2lem1 41478	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ FermatNo
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
23		simpl 473	. . . . . . . . . 10 $/\$
24		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
28	27	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
29	25, 28	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . 11 $/\$
30	29	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	23, 30	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$
33	32	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ FermatNo $/\$
34	33	impcom 446	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $/\$
35		modprm1div 15502	. . . . . 6 $/\$
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
37		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
39		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
41	13	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	44	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
46	45	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
47		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	42, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	38, 40, 49	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51	50, 28	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ FermatNo $/\$ $/\$ $/\$
54	53	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $/\$ $/\$ $/\$
55		odzdvds 15500	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
57		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . 10
58	57	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ FermatNo
59	58	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
60		fmtnoprmfac1lem 41476	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ FermatNo
61	59, 19, 20, 60	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
62		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
63	62	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $/\$
64	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	64, 67	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		nndivides 14990	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	68, 27, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
73	37	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
80	78, 79	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
81	80	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
82		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
84		divmul3 10690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	77, 81, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
86		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
88	68	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
90		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	87, 89, 90	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
93	65	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
94	92, 93	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
95		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
96		add1p1 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
99	94, 98	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
100	57, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
103	91, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
104	103	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
105	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
107		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
108		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
110	108, 109	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
111	110	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
113	64, 112	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
114	113	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
116	87, 115	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
117	106, 107, 116	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
118		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
120	104, 117, 119	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
121	72, 85, 120	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
122	121	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
123	122	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
124	123	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
125	70, 124	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
126	125	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
127	126	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ FermatNo
128	127	impcom 446	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
129	128	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $/\$
130	63, 129	sylbid 230	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo $/\$
131	130	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
132	61, 131	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
133	56, 132	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
134	36, 133	sylbid 230	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
135	22, 134	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ FermatNo
136	135	ex 450	. 2 $/\$ $/\$ FermatNo
137	11, 136	pm2.61i 176	1 $/\$ $/\$ FermatNo

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

codz 15468 FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-prod 14636 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-odz 15470 df-phi 15471 df-pc 15542 df-lgs 25020 df-fmtno 41440

This theorem is referenced by: fmtnofac2 41481 fmtno4prmfac 41484

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