Theorem fpwwe2lem8 9459

Description: Lemma for fpwwe2 9465. Show by induction that the two isometries M and N agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwwe2.1	|- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
fpwwe2.2	|- ( ph -> A e. _V )
fpwwe2.3	|- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
fpwwe2lem9.x	|- ( ph -> X W R )
fpwwe2lem9.y	|- ( ph -> Y W S )
fpwwe2lem9.m	|- M = OrdIso ( R , X )
fpwwe2lem9.n	|- N = OrdIso ( S , Y )
fpwwe2lem9.s	|- ( ph -> dom M C_ dom N )

Assertion

Ref	Expression
fpwwe2lem8	|- ( ph -> M = ( N |` dom M ) )

Distinct variable groups:   y, u, r, x, F   X, r, u, x, y   M, r, u, x, y   N, r, u, x, y   ph, r, u, x, y   A, r, x   R, r, u, x, y   Y, r, u, x, y   S, r, u, x, y   W, r, u, x, y

Allowed substitution hints:   A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem8

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwwe2lem9.m	. . . 4 |- M = OrdIso ( R , X )
2	1	oif 8435	. . 3 |- M : dom M --> X
3		ffn 6045	. . 3 |- ( M : dom M --> X -> M Fn dom M )
4	2, 3	mp1i 13	. 2 |- ( ph -> M Fn dom M )
5		fpwwe2lem9.n	. . . . 5 |- N = OrdIso ( S , Y )
6	5	oif 8435	. . . 4 |- N : dom N --> Y
7		ffn 6045	. . . 4 |- ( N : dom N --> Y -> N Fn dom N )
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> N Fn dom N )
9		fpwwe2lem9.s	. . 3 |- ( ph -> dom M C_ dom N )
10		fnssres 6004	. . 3 |- ( ( N Fn dom N /\ dom M C_ dom N ) -> ( N |` dom M ) Fn dom M )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( N |` dom M ) Fn dom M )
12	1	oicl 8434	. . . . . 6 |- Ord dom M
13		ordelon 5747	. . . . . 6 |- ( ( Ord dom M /\ w e. dom M ) -> w e. On )
14	12, 13	mpan 706	. . . . 5 |- ( w e. dom M -> w e. On )
15		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w e. dom M <-> y e. dom M ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( M ` w ) = ( M ` y ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( N ` w ) = ( N ` y ) )
18	16, 17	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( M ` w ) = ( N ` w ) <-> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
19	15, 18	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) <-> ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) ) )
21		r19.21v 2960	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. w ( ph -> ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) <-> ( ph -> A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) )
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Ord dom M )
23		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord dom M /\ w e. dom M ) -> w C_ dom M )
24	22, 23	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> w C_ dom M )
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ y e. w ) -> y e. dom M )
26		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. dom M -> ( ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ y e. w ) -> ( ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
28	27	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> A. y e. w ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
29	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> M Fn dom M )
30		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M Fn dom M /\ w C_ dom M ) -> ( M |` w ) Fn w )
31	29, 24, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( M |` w ) Fn w )
32	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> N Fn dom N )
33	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> dom M C_ dom N )
34	24, 33	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> w C_ dom N )
35		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N Fn dom N /\ w C_ dom N ) -> ( N |` w ) Fn w )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( N |` w ) Fn w )
37		eqfnfv 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M |` w ) Fn w /\ ( N |` w ) Fn w ) -> ( ( M |` w ) = ( N |` w ) <-> A. y e. w ( ( M |` w ) ` y ) = ( ( N |` w ) ` y ) ) )
38	31, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( ( M |` w ) = ( N |` w ) <-> A. y e. w ( ( M |` w ) ` y ) = ( ( N |` w ) ` y ) ) )
39		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( M |` w ) ` y ) = ( M ` y ) )
40		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( N |` w ) ` y ) = ( N ` y ) )
41	39, 40	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. w -> ( ( ( M |` w ) ` y ) = ( ( N |` w ) ` y ) <-> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
42	41	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. w ( ( M |` w ) ` y ) = ( ( N |` w ) ` y ) <-> A. y e. w ( M ` y ) = ( N ` y ) )
43	38, 42	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( ( M |` w ) = ( N |` w ) <-> A. y e. w ( M ` y ) = ( N ` y ) ) )
44		fpwwe2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
45		fpwwe2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A e. _V )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> A e. _V )
47		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ph )
48		fpwwe2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
49	47, 48	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
50		fpwwe2lem9.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> X W R )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> X W R )
52		fpwwe2lem9.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Y W S )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> Y W S )
54		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> w e. dom M )
55	9	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> w e. dom N )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> w e. dom N )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( M |` w ) = ( N |` w ) )
58	44, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57	fpwwe2lem7 9458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ y R ( M ` w ) ) -> ( y S ( N ` w ) /\ ( z R ( M ` w ) -> ( y R z <-> y S z ) ) ) )
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ y R ( M ` w ) ) -> y S ( N ` w ) )
60	57	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( N |` w ) = ( M |` w ) )
61	44, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60	fpwwe2lem7 9458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ y S ( N ` w ) ) -> ( y R ( M ` w ) /\ ( z S ( N ` w ) -> ( y S z <-> y R z ) ) ) )
62	61	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ y S ( N ` w ) ) -> y R ( M ` w ) )
63	59, 62	impbida 877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( y R ( M ` w ) <-> y S ( N ` w ) ) )
64		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M ` w ) e. _V
65		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
66	65	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M ` w ) e. _V -> ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) <-> y R ( M ` w ) ) )
67	64, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) <-> y R ( M ` w ) )
68		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N ` w ) e. _V
69	65	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N ` w ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( N ` w ) } ) <-> y S ( N ` w ) ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( `' S " { ( N ` w ) } ) <-> y S ( N ` w ) )
71	63, 67, 70	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) <-> y e. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) )
72	71	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( `' R " { ( M ` w ) } ) = ( `' S " { ( N ` w ) } ) )
73		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) C_ ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) )
74		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Rel ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) )
75		relss 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) C_ ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) -> ( Rel ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) -> Rel ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) )
76	73, 74, 75	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Rel ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) )
77		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) C_ ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) )
78		relss 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) C_ ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) -> ( Rel ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) -> Rel ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) )
79	77, 74, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Rel ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) )
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- z e. _V
81	80	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M ` w ) e. _V -> ( z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) <-> z R ( M ` w ) ) )
82	66, 81	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M ` w ) e. _V -> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) <-> ( y R ( M ` w ) /\ z R ( M ` w ) ) ) )
83	64, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) <-> ( y R ( M ` w ) /\ z R ( M ` w ) ) )
84	58	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ y R ( M ` w ) ) -> ( z R ( M ` w ) -> ( y R z <-> y S z ) ) )
85	84	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ ( y R ( M ` w ) /\ z R ( M ` w ) ) ) -> ( y R z <-> y S z ) )
86	83, 85	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) /\ ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) -> ( y R z <-> y S z ) )
87	86	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y R z ) <-> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y S z ) ) )
88		brinxp2 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) z <-> ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ y R z ) )
89		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) z <-> <. y , z >. e. ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) )
90		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ y R z ) <-> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y R z ) )
91	88, 89, 90	3bitr3i 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. y , z >. e. ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) <-> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y R z ) )
92		brinxp2 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) z <-> ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ y S z ) )
93		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) z <-> <. y , z >. e. ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) )
94		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ y S z ) <-> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y S z ) )
95	92, 93, 94	3bitr3i 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. y , z >. e. ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) <-> ( ( y e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) /\ z e. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) /\ y S z ) )
96	87, 91, 95	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( <. y , z >. e. ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) <-> <. y , z >. e. ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) )
97	76, 79, 96	eqrelrdv 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) = ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) )
98	72	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) = ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) )
99	98	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( S i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) = ( S i^i ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) ) )
100	97, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) = ( S i^i ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) ) )
101	72, 100	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) F ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) = ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) F ( S i^i ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) ) ) )
102	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. dom M -> ( M ` w ) e. X )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( M ` w ) e. X )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( M ` w ) e. X )
105	44, 45, 50	fpwwe2lem3 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( M ` w ) e. X ) -> ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) F ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) = ( M ` w ) )
106	47, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) F ( R i^i ( ( `' R " { ( M ` w ) } ) X. ( `' R " { ( M ` w ) } ) ) ) ) = ( M ` w ) )
107	6	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. dom N -> ( N ` w ) e. Y )
108	55, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( N ` w ) e. Y )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( N ` w ) e. Y )
110	44, 45, 52	fpwwe2lem3 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( N ` w ) e. Y ) -> ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) F ( S i^i ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) ) ) = ( N ` w ) )
111	47, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) F ( S i^i ( ( `' S " { ( N ` w ) } ) X. ( `' S " { ( N ` w ) } ) ) ) ) = ( N ` w ) )
112	101, 106, 111	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. dom M ) /\ ( M |` w ) = ( N |` w ) ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) )
113	112	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( ( M |` w ) = ( N |` w ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) )
114	43, 113	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( A. y e. w ( M ` y ) = ( N ` y ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) )
115	28, 114	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) )
116	115	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. dom M -> ( A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
117	116	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
118	117	a2i 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> A. y e. w ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) -> ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
119	21, 118	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. w ( ph -> ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) -> ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( w e. On -> ( A. y e. w ( ph -> ( y e. dom M -> ( M ` y ) = ( N ` y ) ) ) -> ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) ) )
121	20, 120	tfis2 7056	. . . . . 6 |- ( w e. On -> ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
122	121	com3l 89	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. dom M -> ( w e. On -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) ) )
123	14, 122	mpdi 45	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. dom M -> ( M ` w ) = ( N ` w ) ) )
124	123	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( M ` w ) = ( N ` w ) )
125		fvres 6207	. . . 4 |- ( w e. dom M -> ( ( N |` dom M ) ` w ) = ( N ` w ) )
126	125	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( ( N |` dom M ) ` w ) = ( N ` w ) )
127	124, 126	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ w e. dom M ) -> ( M ` w ) = ( ( N |` dom M ) ` w ) )
128	4, 11, 127	eqfnfvd 6314	1 |- ( ph -> M = ( N |` dom M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Rel wrel 5119   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  9460