Theorem frgrwopregbsn 27181

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 27183 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	|- V = (Vtx ` G )
frgrwopreg.d	|- D = (VtxDeg ` G )
frgrwopreg.a	|- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
frgrwopreg.b	|- B = ( V \ A )
frgrwopreg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregbsn	|- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ B = { X } ) -> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E )

Distinct variable groups:   x, V   x, A   x, G   x, K   x, D   x, X   x, B   w, A   w, B   w, G, x   w, V   w, X

Allowed substitution hints:   D( w)   E( x, w)   K( w)

Proof of Theorem frgrwopregbsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		frgrwopreg.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
3		frgrwopreg.a	. . . 4 |- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
4		frgrwopreg.b	. . . 4 |- B = ( V \ A )
5		frgrwopreg.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 27179	. . 3 |- ( G e. FriendGraph -> A. w e. A A. v e. B { w , v } e. E )
7		ralcom 3098	. . . 4 |- ( A. w e. A A. v e. B { w , v } e. E <-> A. v e. B A. w e. A { w , v } e. E )
8		snidg 4206	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X e. { X } )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> X e. { X } )
10		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( B = { X } -> ( X e. B <-> X e. { X } ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( X e. B <-> X e. { X } ) )
12	9, 11	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> X e. B )
13		preq2 4269	. . . . . . . . . 10 |- ( v = X -> { w , v } = { w , X } )
14		prcom 4267	. . . . . . . . . 10 |- { w , X } = { X , w }
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( v = X -> { w , v } = { X , w } )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( { w , v } e. E <-> { X , w } e. E ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( A. w e. A { w , v } e. E <-> A. w e. A { X , w } e. E ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( A. v e. B A. w e. A { w , v } e. E -> A. w e. A { X , w } e. E ) )
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( A. v e. B A. w e. A { w , v } e. E -> A. w e. A { X , w } e. E ) )
20	3	ssrab3 3688	. . . . . . . 8 |- A C_ V
21		ssdifim 3862	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ V /\ B = ( V \ A ) ) -> A = ( V \ B ) )
22	20, 4, 21	mp2an 708	. . . . . . 7 |- A = ( V \ B )
23		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( B = { X } -> ( V \ B ) = ( V \ { X } ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( V \ B ) = ( V \ { X } ) )
25	22, 24	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> A = ( V \ { X } ) )
26	25	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( A. w e. A { X , w } e. E <-> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E ) )
27	19, 26	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( A. v e. B A. w e. A { w , v } e. E -> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E ) )
28	7, 27	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> ( A. w e. A A. v e. B { w , v } e. E -> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E ) )
29	6, 28	syl5com 31	. 2 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( X e. V /\ B = { X } ) -> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E ) )
30	29	3impib 1262	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ B = { X } ) -> A. w e. ( V \ { X } ) { X , w } e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  VtxDegcvtxdg 26361   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-vtxdg 26362  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  27183