Theorem frlmsslss 20113

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. J is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslss.u	|- U = ( LSubSp ` Y )
frlmsslss.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslss.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslss.c	|- C = { x e. B | ( x |` J ) = ( J X. { .0. } ) }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. U )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, J   x, R   x, U   x, .0.   x, V   x, Y

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss.c	. . 3 |- C = { x e. B | ( x |` J ) = ( J X. { .0. } ) }
2		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R e. Ring )
3		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
4		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
5	3, 4	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J e. _V )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( R freeLMod J ) = ( R freeLMod J )
7		frlmsslss.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
8	6, 7	frlm0 20098	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ J e. _V ) -> ( J X. { .0. } ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) )
9	2, 5, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( J X. { .0. } ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) )
10	9	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( x |` J ) = ( J X. { .0. } ) <-> ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) ) )
11	10	rabbidv 3189	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> { x e. B | ( x |` J ) = ( J X. { .0. } ) } = { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } )
12	1, 11	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C = { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } )
13		frlmsslss.y	. . . 4 |- Y = ( R freeLMod I )
14		frlmsslss.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( R freeLMod J ) ) = ( Base ` ( R freeLMod J ) )
16		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( x |` J ) ) = ( x e. B |-> ( x |` J ) )
17	13, 6, 14, 15, 16	frlmsplit2 20112	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( x e. B |-> ( x |` J ) ) e. ( Y LMHom ( R freeLMod J ) ) )
18		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) e. _V
19	16	mptiniseg 5629	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) e. _V -> ( `' ( x e. B |-> ( x |` J ) ) " { ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } ) = { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( `' ( x e. B |-> ( x |` J ) ) " { ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } ) = { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) }
21	20	eqcomi 2631	. . . 4 |- { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } = ( `' ( x e. B |-> ( x |` J ) ) " { ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) )
23		frlmsslss.u	. . . 4 |- U = ( LSubSp ` Y )
24	21, 22, 23	lmhmkerlss 19051	. . 3 |- ( ( x e. B |-> ( x |` J ) ) e. ( Y LMHom ( R freeLMod J ) ) -> { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } e. U )
25	17, 24	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> { x e. B | ( x |` J ) = ( 0g ` ( R freeLMod J ) ) } e. U )
26	12, 25	eqeltrd 2701	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  frlmsslss2  20114