Theorem frlm0 20098

Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 20095). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	|- F = ( R freeLMod I )
frlm0.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
frlm0	|- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` F ) )

Proof of Theorem frlm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 19205	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (ringLMod ` R ) ^s I )
3	2	pwslmod 18970	. . . . 5 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. W ) -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod )
4	1, 3	sylan 488	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod )
5		frlmval.f	. . . . 5 |- F = ( R freeLMod I )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
8	5, 6, 7	frlmlss 20095	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( Base ` F ) e. ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
9	7	lsssubg 18957	. . . 4 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod /\ ( Base ` F ) e. ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) ) = ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) )
12		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
13	11, 12	subg0 17600	. . 3 |- ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) -> ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( 0g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) ) ) )
14	10, 13	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( 0g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) ) ) )
15		lmodgrp 18870	. . . 4 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> (ringLMod ` R ) e. Grp )
16		grpmnd 17429	. . . 4 |- ( (ringLMod ` R ) e. Grp -> (ringLMod ` R ) e. Mnd )
17	1, 15, 16	3syl 18	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. Mnd )
18		frlm0.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
19		rlm0 19197	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
20	18, 19	eqtri 2644	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
21	2, 20	pws0g 17326	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. Mnd /\ I e. W ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
22	17, 21	sylan 488	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
23	5, 6	frlmpws 20094	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> F = ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) ) )
24	23	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( 0g ` F ) = ( 0g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s ( Base ` F ) ) ) )
25	14, 22, 24	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   ^_s cpws 16107   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  ringLModcrglmod 19169   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  frlmsslss  20113  islindf5  20178  mat0op  20225  rrxcph  23180  matunitlindflem1  33405  zlmodzxz0  42134  aacllem  42547