Theorem fusgrmaxsize 26360

Description: The maximum size of a finite simple graph with n vertices is ( ( ( n - 1 ) * n ) / 2 ). See statement in section I.1 of [Bollobas] p. 3 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 14-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	|- V = (Vtx ` G )
fusgrmaxsize.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
fusgrmaxsize	|- ( G e. FinUSGraph -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) )

Proof of Theorem fusgrmaxsize

Dummy variable e is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2	1	isfusgr 26210	. 2 |- ( G e. FinUSGraph <-> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) )
3		cusgrexg 26340	. . . 4 |- ( V e. Fin -> E. e <. V , e >. e. ComplUSGraph )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) -> E. e <. V , e >. e. ComplUSGraph )
5		fusgrmaxsize.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
6		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` G ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- V e. _V
8		vex 3203	. . . . . . . 8 |- e e. _V
9		opvtxfv 25884	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ e e. _V ) -> (Vtx ` <. V , e >. ) = V )
10	7, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. V , e >. ) = V
11	10	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` <. V , e >. )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Edg ` <. V , e >. ) = (Edg ` <. V , e >. )
13	1, 5, 11, 12	sizusglecusg 26359	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ <. V , e >. e. ComplUSGraph ) -> ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) )
14	13	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) /\ <. V , e >. e. ComplUSGraph ) -> ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) )
15	11, 12	cusgrsize 26350	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , e >. e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) )
16		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) <-> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
17	16	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( <. V , e >. e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
19	18	expcom 451	. . . . . 6 |- ( V e. Fin -> ( <. V , e >. e. ComplUSGraph -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) -> ( <. V , e >. e. ComplUSGraph -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
21	20	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) /\ <. V , e >. e. ComplUSGraph ) -> ( ( # ` E ) <_ ( # ` (Edg ` <. V , e >. ) ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
22	14, 21	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) /\ <. V , e >. e. ComplUSGraph ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) )
23	4, 22	exlimddv 1863	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) )
24	2, 23	sylbi 207	1 |- ( G e. FinUSGraph -> ( # ` E ) <_ ( ( # ` V ) _C 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   <_ cle 10075   2c2 11070   _C cbc 13089   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FinUSGraph cfusgr 26208  ComplUSGraphccusgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231  df-cusgr 26232

This theorem is referenced by: (None)