Theorem sbgoldbo 41675

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbgoldbo.p	|- P = ( { 1 } u. Prime )

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbo	|- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. n e. ( ZZ>= ` 3 ) E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )

Distinct variable groups:   P, p, q, r   n, p, q, r

Allowed substitution hint:   P( n)

Proof of Theorem sbgoldbo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2941	. 2 |- F/ n A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven )
2		3z 11410	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
3		6nn 11189	. . . . . 6 |- 6 e. NN
4	3	nnzi 11401	. . . . 5 |- 6 e. ZZ
5		3re 11094	. . . . . 6 |- 3 e. RR
6		6re 11101	. . . . . 6 |- 6 e. RR
7		3lt6 11206	. . . . . 6 |- 3 < 6
8	5, 6, 7	ltleii 10160	. . . . 5 |- 3 <_ 6
9		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( 6 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ /\ 3 <_ 6 ) )
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1244	. . . 4 |- 6 e. ( ZZ>= ` 3 )
11		uzsplit 12412	. . . . 5 |- ( 6 e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) = ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( 6 e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> n e. ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) ) )
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> n e. ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) )
14		elun 3753	. . . . 5 |- ( n e. ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) <-> ( n e. ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) \/ n e. ( ZZ>= ` 6 ) ) )
15		6m1e5 11140	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 - 1 ) = 5
16	15	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) = ( 3 ... 5 )
17		5nn 11188	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. NN
18	17	nnzi 11401	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. ZZ
19		5re 11099	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. RR
20		3lt5 11201	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 5
21	5, 19, 20	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 3 <_ 5
22		eluz2 11693	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ 3 <_ 5 ) )
23	2, 18, 21, 22	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. ( ZZ>= ` 3 )
24		fzopredsuc 41333	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 3 ... 5 ) = ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 3 ... 5 ) = ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } )
26	16, 25	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) = ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } )
27	26	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) <-> n e. ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } ) )
28		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } ) <-> ( n e. ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) \/ n e. { 5 } ) )
29		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) <-> ( n e. { 3 } \/ n e. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) )
30		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 3 } -> n = 3 )
31		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. _V
32	31	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. { 1 }
33	32	orci 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. { 1 } \/ 1 e. Prime )
34		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. ( { 1 } u. Prime ) <-> ( 1 e. { 1 } \/ 1 e. Prime ) )
35	33, 34	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( { 1 } u. Prime )
36		sbgoldbo.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( { 1 } u. Prime )
37	35, 36	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. P
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 3 -> 1 e. P )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n = 3 /\ p = 1 ) -> n = 3 )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 1 -> ( p + q ) = ( 1 + q ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 1 -> ( ( p + q ) + r ) = ( ( 1 + q ) + r ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n = 3 /\ p = 1 ) -> ( ( p + q ) + r ) = ( ( 1 + q ) + r ) )
43	39, 42	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n = 3 /\ p = 1 ) -> ( n = ( ( p + q ) + r ) <-> 3 = ( ( 1 + q ) + r ) ) )
44	43	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n = 3 /\ p = 1 ) -> ( E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P E. r e. P 3 = ( ( 1 + q ) + r ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = 1 -> ( 1 + q ) = ( 1 + 1 ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = 1 -> ( ( 1 + q ) + r ) = ( ( 1 + 1 ) + r ) )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 1 -> ( 3 = ( ( 1 + q ) + r ) <-> 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) ) )
48	47	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = 1 -> ( E. r e. P 3 = ( ( 1 + q ) + r ) <-> E. r e. P 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n = 3 /\ q = 1 ) -> ( E. r e. P 3 = ( ( 1 + q ) + r ) <-> E. r e. P 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = 1 -> ( ( 1 + 1 ) + r ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
51		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 3 = ( 2 + 1 )
52		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
53	52	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
54	51, 53	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
55	50, 54	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = 1 -> 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n = 3 /\ r = 1 ) -> 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) )
57	38, 56	rspcedeq2vd 3319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 3 -> E. r e. P 3 = ( ( 1 + 1 ) + r ) )
58	38, 49, 57	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 3 -> E. q e. P E. r e. P 3 = ( ( 1 + q ) + r ) )
59	38, 44, 58	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 3 -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
60	30, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 3 } -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
61		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 + 1 ) = 4
62		df-5 11082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 = ( 4 + 1 )
63	61, 62	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) = ( 4..^ ( 4 + 1 ) )
64		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
65		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 e. ZZ -> ( 4 ... 4 ) = ( 4..^ ( 4 + 1 ) ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 ... 4 ) = ( 4..^ ( 4 + 1 ) )
67	63, 66	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) = ( 4 ... 4 )
68	67	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) <-> n e. ( 4 ... 4 ) )
69		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. ZZ -> ( 4 ... 4 ) = { 4 } )
70	64, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 ... 4 ) = { 4 }
71	70	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 4 ... 4 ) <-> n e. { 4 } )
72	68, 71	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) <-> n e. { 4 } )
73		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. { 4 } -> n = 4 )
74		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. Prime
75	74	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. { 1 } \/ 2 e. Prime )
76		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ( { 1 } u. Prime ) <-> ( 2 e. { 1 } \/ 2 e. Prime ) )
77	75, 76	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ( { 1 } u. Prime )
78	77, 36	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. P
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 4 -> 2 e. P )
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 2 -> ( p + q ) = ( 2 + q ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 2 -> ( ( p + q ) + r ) = ( ( 2 + q ) + r ) )
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 2 -> ( n = ( ( p + q ) + r ) <-> n = ( ( 2 + q ) + r ) ) )
83	82	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = 2 -> ( E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 2 + q ) + r ) ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n = 4 /\ p = 2 ) -> ( E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 2 + q ) + r ) ) )
85	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 4 -> 1 e. P )
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = 1 -> ( 2 + q ) = ( 2 + 1 ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = 1 -> ( ( 2 + q ) + r ) = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
88	87	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = 1 -> ( n = ( ( 2 + q ) + r ) <-> n = ( ( 2 + 1 ) + r ) ) )
89	88	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 1 -> ( E. r e. P n = ( ( 2 + q ) + r ) <-> E. r e. P n = ( ( 2 + 1 ) + r ) ) )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n = 4 /\ q = 1 ) -> ( E. r e. P n = ( ( 2 + q ) + r ) <-> E. r e. P n = ( ( 2 + 1 ) + r ) ) )
91		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = 4 /\ r = 1 ) -> n = 4 )
92		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 4 = ( 3 + 1 )
93	51	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 + 1 ) = ( ( 2 + 1 ) + 1 )
94	92, 93	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 = ( ( 2 + 1 ) + 1 )
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 4 /\ r = 1 ) -> 4 = ( ( 2 + 1 ) + 1 ) )
96		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = 1 -> ( ( 2 + 1 ) + r ) = ( ( 2 + 1 ) + 1 ) )
97	96	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = 1 -> ( ( 2 + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 4 /\ r = 1 ) -> ( ( 2 + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
99	95, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = 4 /\ r = 1 ) -> 4 = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
100	91, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n = 4 /\ r = 1 ) -> n = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
101	85, 100	rspcedeq2vd 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 4 -> E. r e. P n = ( ( 2 + 1 ) + r ) )
102	85, 90, 101	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 4 -> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 2 + q ) + r ) )
103	79, 84, 102	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 4 -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
104	73, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 4 } -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
105	72, 104	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
106	60, 105	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. { 3 } \/ n e. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
107	29, 106	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
108		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { 5 } -> n = 5 )
109		3prm 15406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. Prime
110	109	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. { 1 } \/ 3 e. Prime )
111		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. ( { 1 } u. Prime ) <-> ( 3 e. { 1 } \/ 3 e. Prime ) )
112	110, 111	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ( { 1 } u. Prime )
113	112, 36	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. P
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 5 -> 3 e. P )
115		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = 3 -> ( p + q ) = ( 3 + q ) )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = 3 -> ( ( p + q ) + r ) = ( ( 3 + q ) + r ) )
117	116	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = 3 -> ( n = ( ( p + q ) + r ) <-> n = ( ( 3 + q ) + r ) ) )
118	117	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = 3 -> ( E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 3 + q ) + r ) ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = 5 /\ p = 3 ) -> ( E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 3 + q ) + r ) ) )
120	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 5 -> 1 e. P )
121		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 1 -> ( 3 + q ) = ( 3 + 1 ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = 1 -> ( ( 3 + q ) + r ) = ( ( 3 + 1 ) + r ) )
123	122	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = 1 -> ( n = ( ( 3 + q ) + r ) <-> n = ( ( 3 + 1 ) + r ) ) )
124	123	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = 1 -> ( E. r e. P n = ( ( 3 + q ) + r ) <-> E. r e. P n = ( ( 3 + 1 ) + r ) ) )
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n = 5 /\ q = 1 ) -> ( E. r e. P n = ( ( 3 + q ) + r ) <-> E. r e. P n = ( ( 3 + 1 ) + r ) ) )
126		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n = 5 /\ r = 1 ) -> n = 5 )
127		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = 1 -> ( ( 3 + 1 ) + r ) = ( ( 3 + 1 ) + 1 ) )
128	92	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 + 1 ) = ( ( 3 + 1 ) + 1 )
129	62, 128	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 = ( ( 3 + 1 ) + 1 )
130	127, 129	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = 1 -> 5 = ( ( 3 + 1 ) + r ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n = 5 /\ r = 1 ) -> 5 = ( ( 3 + 1 ) + r ) )
132	126, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n = 5 /\ r = 1 ) -> n = ( ( 3 + 1 ) + r ) )
133	120, 132	rspcedeq2vd 3319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 5 -> E. r e. P n = ( ( 3 + 1 ) + r ) )
134	120, 125, 133	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 5 -> E. q e. P E. r e. P n = ( ( 3 + q ) + r ) )
135	114, 119, 134	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 5 -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
136	108, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. { 5 } -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
137	107, 136	jaoi 394	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) \/ n e. { 5 } ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
138	28, 137	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
139	138	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ( { 3 } u. ( ( 3 + 1 )..^ 5 ) ) u. { 5 } ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
140	27, 139	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( n e. ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
141		sbgoldbm 41672	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. n e. ( ZZ>= ` 6 ) E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) )
142		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` 6 ) E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) /\ n e. ( ZZ>= ` 6 ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) )
143		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- Prime C_ ( { 1 } u. Prime )
144	143, 36	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . 12 |- Prime C_ P
145		rexss 3669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Prime C_ P -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. p e. P ( p e. Prime /\ E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. p e. P ( p e. Prime /\ E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) )
147		rexss 3669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Prime C_ P -> ( E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P ( q e. Prime /\ E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
148	144, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. q e. P ( q e. Prime /\ E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) )
149		rexss 3669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Prime C_ P -> ( E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. r e. P ( r e. Prime /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
150	144, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) <-> E. r e. P ( r e. Prime /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) )
151		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. Prime /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) -> n = ( ( p + q ) + r ) )
152	151	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. r e. P ( r e. Prime /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) -> E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
153	150, 152	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) -> E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. Prime /\ E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) -> E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
155	154	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. q e. P ( q e. Prime /\ E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) -> E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
156	148, 155	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) -> E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Prime /\ E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) -> E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
158	157	reximi 3011	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. p e. P ( p e. Prime /\ E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
159	146, 158	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
160	142, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` 6 ) E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) /\ n e. ( ZZ>= ` 6 ) ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )
161	160	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` 6 ) E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime n = ( ( p + q ) + r ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 6 ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
162	141, 161	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 6 ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
163	162	com12 32	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
164	140, 163	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( n e. ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) \/ n e. ( ZZ>= ` 6 ) ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
165	14, 164	sylbi 207	. . . 4 |- ( n e. ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
166	165	com12 32	. . 3 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( n e. ( ( 3 ... ( 6 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 6 ) ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
167	13, 166	syl5bi 232	. 2 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) ) )
168	1, 167	ralrimi 2957	1 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. n e. ( ZZ>= ` 3 ) E. p e. P E. q e. P E. r e. P n = ( ( p + q ) + r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   Primecprime 15385   Even ceven 41537   GoldbachEven cgbe 41633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbow 41637

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