Theorem fzto1st 29853

Description: The function moving one element to the first position (and shifting all elements before it) is a permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	|- D = ( 1 ... N )
psgnfzto1st.p	|- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
psgnfzto1st.g	|- G = ( SymGrp ` D )
psgnfzto1st.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
fzto1st	|- ( I e. D -> P e. B )

Distinct variable groups:   D, i   i, I   i, N   B, i

Allowed substitution hints:   P( i)   G( i)

Proof of Theorem fzto1st

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1b 12409	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... N ) <-> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
2	1	biimpi 206	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... N ) -> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
3		psgnfzto1st.d	. . . 4 |- D = ( 1 ... N )
4	2, 3	eleq2s 2719	. . 3 |- ( I e. D -> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
5		3ancoma 1045	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) <-> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
6	4, 5	sylibr 224	. 2 |- ( I e. D -> ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) )
7		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) <-> ( ( N e. NN /\ I e. NN ) /\ I <_ N ) )
8		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( m <_ N <-> 1 <_ N ) )
9		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = 1 /\ i e. D ) -> m = 1 )
10	9	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = 1 /\ i e. D ) -> ( i <_ m <-> i <_ 1 ) )
11	10	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = 1 /\ i e. D ) -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) )
12	9, 11	ifeq12d 4106	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = 1 /\ i e. D ) -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) )
13	12	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- 1 = 1
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) )
16	3, 15	fzto1st1 29852	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = 1 -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( _I |` D ) )
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( _I |` D )
18	13, 17	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( _I |` D ) )
19	18	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B <-> ( _I |` D ) e. B ) )
20	8, 19	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( ( m <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) <-> ( 1 <_ N -> ( _I |` D ) e. B ) ) )
21		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( m <_ N <-> n <_ N ) )
22		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = n /\ i e. D ) -> m = n )
23	22	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = n /\ i e. D ) -> ( i <_ m <-> i <_ n ) )
24	23	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = n /\ i e. D ) -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) )
25	22, 24	ifeq12d 4106	. . . . . . . 8 |- ( ( m = n /\ i e. D ) -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) )
26	25	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B <-> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) )
28	21, 27	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( m <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) <-> ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) )
29		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m <_ N <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
30		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = ( n + 1 ) /\ i e. D ) -> m = ( n + 1 ) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = ( n + 1 ) /\ i e. D ) -> ( i <_ m <-> i <_ ( n + 1 ) ) )
32	31	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = ( n + 1 ) /\ i e. D ) -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) )
33	30, 32	ifeq12d 4106	. . . . . . . 8 |- ( ( m = ( n + 1 ) /\ i e. D ) -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) )
34	33	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B <-> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) )
36	29, 35	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) <-> ( ( n + 1 ) <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) )
37		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( m = I -> ( m <_ N <-> I <_ N ) )
38		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = I /\ i e. D ) -> m = I )
39	38	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = I /\ i e. D ) -> ( i <_ m <-> i <_ I ) )
40	39	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = I /\ i e. D ) -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) )
41	38, 40	ifeq12d 4106	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = I /\ i e. D ) -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
42	41	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( m = I -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
43		psgnfzto1st.p	. . . . . . . 8 |- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
44	42, 43	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( m = I -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = P )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( m = I -> ( ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B <-> P e. B ) )
46	37, 45	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = I -> ( ( m <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) <-> ( I <_ N -> P e. B ) ) )
47		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... N ) e. Fin
48	3, 47	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- D e. Fin
49		psgnfzto1st.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( SymGrp ` D )
50	49	idresperm 17829	. . . . . . . 8 |- ( D e. Fin -> ( _I |` D ) e. ( Base ` G ) )
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` D ) e. ( Base ` G )
52		psgnfzto1st.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
53	51, 52	eleqtrri 2700	. . . . . 6 |- ( _I |` D ) e. B
54	53	2a1i 12	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ N -> ( _I |` D ) e. B ) )
55		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. NN )
56	55	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. NN )
57		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> N e. NN )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) <_ N )
59	56, 57, 58	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( ( n + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( n + 1 ) <_ N ) )
60		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( n + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( n + 1 ) <_ N ) )
61	59, 60	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
62	61, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. D )
63	3	psgnfzto1stlem 29850	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. D ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
64	55, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
65	64	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ran (pmTrsp ` D ) = ran (pmTrsp ` D )
67	66, 49, 52	symgtrf 17889	. . . . . . . . 9 |- ran (pmTrsp ` D ) C_ B
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (pmTrsp ` D ) = (pmTrsp ` D )
69	3, 68	pmtrto1cl 29849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. D ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
70	55, 62, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
71	70	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
72	67, 71	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B )
73	55	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. RR )
74		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> 1 e. RR )
75	73, 74	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. RR )
76	57	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> N e. RR )
77	73	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ ( n + 1 ) )
78	73, 75, 76, 77, 58	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ N )
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ N )
80		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) )
81	79, 80	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
83	49, 52, 82	symgov 17810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B /\ ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ( +g ` G ) ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
84	49, 52, 82	symgcl 17811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B /\ ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ( +g ` G ) ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) e. B )
85	83, 84	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B /\ ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) e. B )
86	72, 81, 85	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) e. B )
87	65, 86	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B )
88	87	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) ) -> ( ( n + 1 ) <_ N -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) )
89	20, 28, 36, 46, 54, 88	nnindd 29566	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN ) -> ( I <_ N -> P e. B ) )
90	89	imp 445	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. NN ) /\ I <_ N ) -> P e. B )
91	7, 90	sylbi 207	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) -> P e. B )
92	6, 91	syl 17	1 |- ( I e. D -> P e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  29854  psgnfzto1st  29855  madjusmdetlem2  29894  madjusmdetlem3  29895  madjusmdetlem4  29896