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Theorem psgnfzto1st 29855
Description: The permutation sign for moving one element to the first position. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d |- D = ( 1 ... N )
psgnfzto1st.p |- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
psgnfzto1st.g |- G = ( SymGrp ` D )
psgnfzto1st.b |- B = ( Base ` G )
psgnfzto1st.s |- S = (pmSgn ` D )
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1st |- ( I e. D -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   D, i   i, I   i, N   B, i
Allowed substitution hints:   P( i)   S( i)   G( i)
Proof of Theorem psgnfzto1st
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1b 12409 . . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... N ) <-> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
21biimpi 206 . . . 4 |- ( I e. ( 1 ... N ) -> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
3 psgnfzto1st.d . . . 4 |- D = ( 1 ... N )
42, 3eleq2s 2719 . . 3 |- ( I e. D -> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
5 3ancoma 1045 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) <-> ( I e. NN /\ N e. NN /\ I <_ N ) )
64, 5sylibr 224 . 2 |- ( I e. D -> ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) )
7 df-3an 1039 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) <-> ( ( N e. NN /\ I e. NN ) /\ I <_ N ) )
8 breq1 4656 . . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( m <_ N <-> 1 <_ N ) )
9 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> m = 1 )
10 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( i <_ m <-> i <_ 1 ) )
1110ifbid 4108 . . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) )
129, 11ifeq12d 4106 . . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) )
1312mpteq2dv 4745 . . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
1413fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
15 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( m + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
1615oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) )
1714, 16eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) <-> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) ) )
188, 17imbi12d 334 . . . . 5 |- ( m = 1 -> ( ( m <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) ) <-> ( 1 <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) ) ) )
19 breq1 4656 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( m <_ N <-> n <_ N ) )
20 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> m = n )
21 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( i <_ m <-> i <_ n ) )
2221ifbid 4108 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) )
2320, 22ifeq12d 4106 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) )
2423mpteq2dv 4745 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
2524fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
26 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
2726oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) )
2825, 27eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) <-> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) )
2919, 28imbi12d 334 . . . . 5 |- ( m = n -> ( ( m <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) ) <-> ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
30 breq1 4656 . . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m <_ N <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
31 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> m = ( n + 1 ) )
32 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( i <_ m <-> i <_ ( n + 1 ) ) )
3332ifbid 4108 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) )
3431, 33ifeq12d 4106 . . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) )
3534mpteq2dv 4745 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
3635fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
37 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m + 1 ) = ( ( n + 1 ) + 1 ) )
3837oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) )
3936, 38eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) <-> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) ) )
4030, 39imbi12d 334 . . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
41 breq1 4656 . . . . . 6 |- ( m = I -> ( m <_ N <-> I <_ N ) )
42 id 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = I -> m = I )
43 breq2 4657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = I -> ( i <_ m <-> i <_ I ) )
4443ifbid 4108 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = I -> if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) = if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) )
4542, 44ifeq12d 4106 . . . . . . . . . 10 |- ( m = I -> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
4645mpteq2dv 4745 . . . . . . . . 9 |- ( m = I -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
47 psgnfzto1st.p . . . . . . . . 9 |- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
4846, 47syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( m = I -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) = P )
4948fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( m = I -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` P ) )
50 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( m = I -> ( m + 1 ) = ( I + 1 ) )
5150oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = I -> ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) )
5249, 51eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( m = I -> ( ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) <-> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) ) )
5341, 52imbi12d 334 . . . . 5 |- ( m = I -> ( ( m <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , m , if ( i <_ m , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( m + 1 ) ) ) <-> ( I <_ N -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) ) ) )
54 fzfi 12771 . . . . . . . . 9 |- ( 1 ... N ) e. Fin
553, 54eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- D e. Fin
56 psgnfzto1st.s . . . . . . . . 9 |- S = (pmSgn ` D )
5756psgnid 29847 . . . . . . . 8 |- ( D e. Fin -> ( S ` ( _I |` D ) ) = 1 )
5855, 57ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( S ` ( _I |` D ) ) = 1
59 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- 1 = 1
60 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) )
613, 60fzto1st1 29852 . . . . . . . . 9 |- ( 1 = 1 -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( _I |` D ) )
6259, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( _I |` D )
6362fveq2i 6194 . . . . . . 7 |- ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` ( _I |` D ) )
64 1p1e2 11134 . . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
6564oveq2i 6661 . . . . . . . 8 |- ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) = ( -u 1 ^ 2 )
66 neg1sqe1 12959 . . . . . . . 8 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
6765, 66eqtri 2644 . . . . . . 7 |- ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) = 1
6858, 63, 673eqtr4i 2654 . . . . . 6 |- ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) )
69682a1i 12 . . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , 1 , if ( i <_ 1 , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 1 + 1 ) ) ) )
70 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. NN )
7170peano2nnd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. NN )
72 simpll 790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> N e. NN )
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) <_ N )
7471, 72, 733jca 1242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( ( n + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( n + 1 ) <_ N ) )
75 elfz1b 12409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( n + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( n + 1 ) <_ N ) )
7674, 75sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
7776, 3syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. D )
783psgnfzto1stlem 29850 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. D ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
7970, 77, 78syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
8079adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( S ` ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) )
8255a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> D e. Fin )
83 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ran (pmTrsp ` D ) = ran (pmTrsp ` D )
84 psgnfzto1st.g . . . . . . . . . 10 |- G = ( SymGrp ` D )
85 psgnfzto1st.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
8683, 84, 85symgtrf 17889 . . . . . . . . 9 |- ran (pmTrsp ` D ) C_ B
87 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- (pmTrsp ` D ) = (pmTrsp ` D )
883, 87pmtrto1cl 29849 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. D ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
8970, 77, 88syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
9089adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) )
9186, 90sseldi 3601 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B )
9270nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. RR )
93 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> 1 e. RR )
9492, 93readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n + 1 ) e. RR )
9572nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> N e. RR )
9692lep1d 10955 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ ( n + 1 ) )
9792, 94, 95, 96, 73letrd 10194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ N )
9870, 72, 973jca 1242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n e. NN /\ N e. NN /\ n <_ N ) )
99 elfz1b 12409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) <-> ( n e. NN /\ N e. NN /\ n <_ N ) )
10098, 99sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. ( 1 ... N ) )
101100, 3syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. D )
102101adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n e. D )
103 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) )
1043, 103, 84, 85fzto1st 29853 . . . . . . . . 9 |- ( n e. D -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B )
105102, 104syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B )
10684, 56, 85psgnco 19929 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. B /\ ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) e. B ) -> ( S ` ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) x. ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) )
10782, 91, 105, 106syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) o. ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) x. ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) )
10884, 83, 56psgnpmtr 17930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) e. ran (pmTrsp ` D ) -> ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) = -u 1 )
10989, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) = -u 1 )
110109adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) = -u 1 )
11197adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> n <_ N )
112 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) )
113111, 112mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) )
114110, 113oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) x. ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) = ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) )
115 neg1cn 11124 . . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
116 peano2nn 11032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
117116nnnn0d 11351 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN0 )
118 expp1 12867 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( n + 1 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) x. -u 1 ) )
119115, 117, 118sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) x. -u 1 ) )
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
121120, 117expcld 13008 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) e. CC )
122121, 120mulcomd 10061 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) )
123119, 122eqtr2d 2657 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) )
124123ad3antlr 767 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) )
125114, 124eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( ( S ` ( (pmTrsp ` D ) ` { n , ( n + 1 ) } ) ) x. ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) )
12681, 107, 1253eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( n + 1 ) <_ N ) -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) )
127126ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. NN ) /\ ( n <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , n , if ( i <_ n , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( n + 1 ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) <_ N -> ( S ` ( i e. D |-> if ( i = 1 , ( n + 1 ) , if ( i <_ ( n + 1 ) , ( i - 1 ) , i ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( n + 1 ) + 1 ) ) ) )
12818, 29, 40, 53, 69, 127nnindd 29566 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN ) -> ( I <_ N -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) ) )
129128imp 445 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. NN ) /\ I <_ N ) -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) )
1307, 129sylbi 207 . 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. NN /\ I <_ N ) -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) )
1316, 130syl 17 1 |- ( I e. D -> ( S ` P ) = ( -u 1 ^ ( I + 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861  pmSgncpsgn 17909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-cnfld 19747
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