Theorem gaorber 17741

Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gaorb.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
gaorber.2	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
gaorber	|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )

Distinct variable groups:   x, g, y, .(+)   g, X, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   .~ ( x, y, g)   G( x, y, g)   Y( g)

Proof of Theorem gaorber

Dummy variables h f k u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gaorb.1	. . . 4 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
2	1	relopabi 5245	. . 3 |- Rel .~
3	2	a1i 11	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Rel .~ )
4		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> u .~ v )
5	1	gaorb 17740	. . . . 5 |- ( u .~ v <-> ( u e. Y /\ v e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = v ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> ( u e. Y /\ v e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = v ) )
7	6	simp2d 1074	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> v e. Y )
8	6	simp1d 1073	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> u e. Y )
9	6	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> E. h e. X ( h .(+) u ) = v )
10		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> h e. X )
12	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> u e. Y )
13	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> v e. Y )
14		gaorber.2	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
16	14, 15	gacan 17738	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( h e. X /\ u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( h .(+) u ) = v <-> ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u ) )
17	10, 11, 12, 13, 16	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> ( ( h .(+) u ) = v <-> ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u ) )
18		gagrp 17725	. . . . . . . . 9 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> G e. Grp )
20	14, 15	grpinvcl 17467	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ h e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` h ) e. X )
21	19, 20	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` h ) e. X )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( invg ` G ) ` h ) -> ( k .(+) v ) = ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) )
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( invg ` G ) ` h ) -> ( ( k .(+) v ) = u <-> ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u ) )
24	23	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` h ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u ) -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u )
25	24	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( invg ` G ) ` h ) e. X -> ( ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u ) )
26	21, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` h ) .(+) v ) = u -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u ) )
27	17, 26	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) /\ h e. X ) -> ( ( h .(+) u ) = v -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u ) )
28	27	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> ( E. h e. X ( h .(+) u ) = v -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u ) )
29	9, 28	mpd 15	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> E. k e. X ( k .(+) v ) = u )
30	1	gaorb 17740	. . 3 |- ( v .~ u <-> ( v e. Y /\ u e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) v ) = u ) )
31	7, 8, 29, 30	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u .~ v ) -> v .~ u )
32	8	adantrr 753	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> u e. Y )
33		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> v .~ w )
34	1	gaorb 17740	. . . . 5 |- ( v .~ w <-> ( v e. Y /\ w e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) v ) = w ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> ( v e. Y /\ w e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) v ) = w ) )
36	35	simp2d 1074	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> w e. Y )
37	9	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> E. h e. X ( h .(+) u ) = v )
38	35	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) v ) = w )
39		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. h e. X E. k e. X ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) <-> ( E. h e. X ( h .(+) u ) = v /\ E. k e. X ( k .(+) v ) = w ) )
40	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> G e. Grp )
41		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> k e. X )
42		simprll 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> h e. X )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
44	14, 43	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ k e. X /\ h e. X ) -> ( k ( +g ` G ) h ) e. X )
45	40, 41, 42, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( k ( +g ` G ) h ) e. X )
46		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
47	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> u e. Y )
48	14, 43	gaass 17730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( k e. X /\ h e. X /\ u e. Y ) ) -> ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) = ( k .(+) ( h .(+) u ) ) )
49	46, 41, 42, 47, 48	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) = ( k .(+) ( h .(+) u ) ) )
50		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( h .(+) u ) = v )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( k .(+) ( h .(+) u ) ) = ( k .(+) v ) )
52		simprrr 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( k .(+) v ) = w )
53	49, 51, 52	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) = w )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( k ( +g ` G ) h ) -> ( f .(+) u ) = ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) )
55	54	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( k ( +g ` G ) h ) -> ( ( f .(+) u ) = w <-> ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) = w ) )
56	55	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k ( +g ` G ) h ) e. X /\ ( ( k ( +g ` G ) h ) .(+) u ) = w ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w )
57	45, 53, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( ( h e. X /\ k e. X ) /\ ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) ) ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w )
58	57	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) /\ ( h e. X /\ k e. X ) ) -> ( ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w ) )
59	58	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> ( E. h e. X E. k e. X ( ( h .(+) u ) = v /\ ( k .(+) v ) = w ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w ) )
60	39, 59	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> ( ( E. h e. X ( h .(+) u ) = v /\ E. k e. X ( k .(+) v ) = w ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w ) )
61	37, 38, 60	mp2and 715	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> E. f e. X ( f .(+) u ) = w )
62	1	gaorb 17740	. . 3 |- ( u .~ w <-> ( u e. Y /\ w e. Y /\ E. f e. X ( f .(+) u ) = w ) )
63	32, 36, 61, 62	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u .~ v /\ v .~ w ) ) -> u .~ w )
64	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u e. Y ) -> G e. Grp )
65		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
66	14, 65	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
67	64, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. X )
68	65	gagrpid 17727	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) u ) = u )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( 0g ` G ) -> ( h .(+) u ) = ( ( 0g ` G ) .(+) u ) )
70	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( h = ( 0g ` G ) -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( ( 0g ` G ) .(+) u ) = u ) )
71	70	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ ( ( 0g ` G ) .(+) u ) = u ) -> E. h e. X ( h .(+) u ) = u )
72	67, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ u e. Y ) -> E. h e. X ( h .(+) u ) = u )
73	72	ex 450	. . . . 5 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( u e. Y -> E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) )
74	73	pm4.71rd 667	. . . 4 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( u e. Y <-> ( E. h e. X ( h .(+) u ) = u /\ u e. Y ) ) )
75		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( u e. Y /\ u e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) <-> ( ( u e. Y /\ u e. Y ) /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) )
76		anidm 676	. . . . . 6 |- ( ( u e. Y /\ u e. Y ) <-> u e. Y )
77	76	anbi2ci 732	. . . . 5 |- ( ( ( u e. Y /\ u e. Y ) /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) <-> ( E. h e. X ( h .(+) u ) = u /\ u e. Y ) )
78	75, 77	bitri 264	. . . 4 |- ( ( u e. Y /\ u e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) <-> ( E. h e. X ( h .(+) u ) = u /\ u e. Y ) )
79	74, 78	syl6bbr 278	. . 3 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( u e. Y <-> ( u e. Y /\ u e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) ) )
80	1	gaorb 17740	. . 3 |- ( u .~ u <-> ( u e. Y /\ u e. Y /\ E. h e. X ( h .(+) u ) = u ) )
81	79, 80	syl6bbr 278	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( u e. Y <-> u .~ u ) )
82	3, 31, 63, 81	iserd 7768	1 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  sylow1lem3  18015  sylow1lem5  18017  sylow2alem1  18032  sylow2alem2  18033  sylow2a  18034  sylow3lem3  18044