Theorem sylow1lem3 18015

Description: Lemma for sylow1 18018. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
sylow1lem3.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ S /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem3	|- ( ph -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )

Distinct variable groups:   g, s, x, y, z, w   S, g   x, w, y, z, S   g, N   w, s, N, x, y, z   g, X, s, w, x, y, z   .+ , s, w, x, y, z   w, .~ , z   .(+) , g, w, x, y, z   g, G, s, x, y, z   P, g, s, w, x, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w, g, s)   .+ ( g)   .(+) ( s)   .~ ( x, y, g, s)   S( s)   G( w)

Proof of Theorem sylow1lem3

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
2		sylow1.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
3		sylow1.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. Grp )
4		sylow1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow1.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		sylow1.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
7		sylow1lem.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
8		sylow1lem.s	. . . . . . . 8 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
9	2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8	sylow1lem1 18013	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` S ) e. NN /\ ( P pCnt ( # ` S ) ) = ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
10	9	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` S ) e. NN )
11		pcndvds 15570	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` S ) e. NN ) -> -. ( P ^ ( ( P pCnt ( # ` S ) ) + 1 ) ) || ( # ` S ) )
12	1, 10, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( P ^ ( ( P pCnt ( # ` S ) ) + 1 ) ) || ( # ` S ) )
13	9	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P pCnt ( # ` S ) ) = ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( # ` S ) ) + 1 ) = ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ ( ( P pCnt ( # ` S ) ) + 1 ) ) = ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) )
16		sylow1lem.m	. . . . . . . . 9 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
17	2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16	sylow1lem2 18014	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )
18		sylow1lem3.1	. . . . . . . . 9 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ S /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
19	18, 2	gaorber 17741	. . . . . . . 8 |- ( .(+) e. ( G GrpAct S ) -> .~ Er S )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> .~ Er S )
21		pwfi 8261	. . . . . . . . 9 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
22	4, 21	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
23		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) } C_ ~P X
24	8, 23	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- S C_ ~P X
25		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P X e. Fin /\ S C_ ~P X ) -> S e. Fin )
26	22, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Fin )
27	20, 26	qshash 14559	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` S ) = sum_ z e. ( S /. .~ ) ( # ` z ) )
28	15, 27	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P ^ ( ( P pCnt ( # ` S ) ) + 1 ) ) || ( # ` S ) <-> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || sum_ z e. ( S /. .~ ) ( # ` z ) ) )
29	12, 28	mtbid 314	. . . 4 |- ( ph -> -. ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || sum_ z e. ( S /. .~ ) ( # ` z ) )
30		pwfi 8261	. . . . . . . 8 |- ( S e. Fin <-> ~P S e. Fin )
31	26, 30	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P S e. Fin )
32	20	qsss 7808	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S /. .~ ) C_ ~P S )
33		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ~P S e. Fin /\ ( S /. .~ ) C_ ~P S ) -> ( S /. .~ ) e. Fin )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S /. .~ ) e. Fin )
35	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) -> ( S /. .~ ) e. Fin )
36		prmnn 15388	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
38	1, 10	pccld 15555	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( # ` S ) ) e. NN0 )
39	13, 38	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. NN0 )
40		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. NN0 -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) e. NN0 )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) e. NN0 )
42	37, 41	nnexpcld 13030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) e. NN )
43	42	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) e. ZZ )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) -> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) e. ZZ )
45		erdm 7752	. . . . . . . . . 10 |- ( .~ Er S -> dom .~ = S )
46	20, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom .~ = S )
47		elqsn0 7816	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom .~ = S /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> z =/= (/) )
48	46, 47	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> z =/= (/) )
49	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> S e. Fin )
50	32	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> z e. ~P S )
51	50	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> z C_ S )
52		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Fin /\ z C_ S ) -> z e. Fin )
53	49, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> z e. Fin )
54		hashnncl 13157	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Fin -> ( ( # ` z ) e. NN <-> z =/= (/) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( # ` z ) e. NN <-> z =/= (/) ) )
56	48, 55	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( # ` z ) e. NN )
57	56	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( # ` z ) e. NN )
58	57	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = z -> ( # ` a ) = ( # ` z ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = z -> ( P pCnt ( # ` a ) ) = ( P pCnt ( # ` z ) ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = z -> ( ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) <-> ( P pCnt ( # ` z ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
62	61	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( a = z -> ( -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) <-> -. ( P pCnt ( # ` z ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
63	62	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> -. ( P pCnt ( # ` z ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
64	63	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> -. ( P pCnt ( # ` z ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
65	2	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> X =/= (/) )
66	3, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X =/= (/) )
67		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
68	4, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
69	66, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN )
70	1, 69	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( # ` X ) ) e. NN0 )
71	70	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt ( # ` X ) ) e. ZZ )
72	5	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
73	71, 72	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. ZZ )
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. ZZ )
75	74	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. RR )
76	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> P e. Prime )
77	76, 57	pccld 15555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( P pCnt ( # ` z ) ) e. NN0 )
78	77	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( P pCnt ( # ` z ) ) e. ZZ )
79	78	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( P pCnt ( # ` z ) ) e. RR )
80	75, 79	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) < ( P pCnt ( # ` z ) ) <-> -. ( P pCnt ( # ` z ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
81	64, 80	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) < ( P pCnt ( # ` z ) ) )
82		zltp1le 11427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) e. ZZ /\ ( P pCnt ( # ` z ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) < ( P pCnt ( # ` z ) ) <-> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) <_ ( P pCnt ( # ` z ) ) ) )
83	74, 78, 82	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) < ( P pCnt ( # ` z ) ) <-> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) <_ ( P pCnt ( # ` z ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) <_ ( P pCnt ( # ` z ) ) )
85	41	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) e. NN0 )
86		pcdvdsb 15573	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` z ) e. ZZ /\ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) <_ ( P pCnt ( # ` z ) ) <-> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || ( # ` z ) ) )
87	76, 58, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) <_ ( P pCnt ( # ` z ) ) <-> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || ( # ` z ) ) )
88	84, 87	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) /\ z e. ( S /. .~ ) ) -> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || ( # ` z ) )
89	35, 44, 58, 88	fsumdvds 15030	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) -> ( P ^ ( ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) + 1 ) ) || sum_ z e. ( S /. .~ ) ( # ` z ) )
90	29, 89	mtand 691	. . 3 |- ( ph -> -. A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
91		dfrex2 2996	. . 3 |- ( E. a e. ( S /. .~ ) ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) <-> -. A. a e. ( S /. .~ ) -. ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
92	90, 91	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. a e. ( S /. .~ ) ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
93		eqid 2622	. . . 4 |- ( S /. .~ ) = ( S /. .~ )
94		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( [ z ] .~ = a -> ( # ` [ z ] .~ ) = ( # ` a ) )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( [ z ] .~ = a -> ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) = ( P pCnt ( # ` a ) ) )
96	95	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( [ z ] .~ = a -> ( ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) <-> ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
97	96	imbi1d 331	. . . 4 |- ( [ z ] .~ = a -> ( ( ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) <-> ( ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) ) )
98		eceq1 7782	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> [ w ] .~ = [ z ] .~ )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` [ z ] .~ ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) )
101	100	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) <-> ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
102	101	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( z e. S /\ ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )
103	102	ex 450	. . . . 5 |- ( z e. S -> ( ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
104	103	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ z ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
105	93, 97, 104	ectocld 7814	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( S /. .~ ) ) -> ( ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
106	105	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. ( S /. .~ ) ( P pCnt ( # ` a ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) ) )
107	92, 106	mpd 15	1 |- ( ph -> E. w e. S ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) <_ ( ( P pCnt ( # ` X ) ) - N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  sylow1  18018