Theorem gastacl 17742

Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	|- X = ( Base ` G )
gasta.2	|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }

Assertion

Ref	Expression
gastacl	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   u, .(+)   u, A   u, G   u, X

Allowed substitution hints:   H( u)   Y( u)

Proof of Theorem gastacl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.2	. . . 4 |- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { u e. X | ( u .(+) A ) = A } C_ X
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 |- H C_ X
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H C_ X )
5		gagrp 17725	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> G e. Grp )
7		gasta.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
9	7, 8	grpidcl 17450	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
10	6, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. X )
11	8	gagrpid 17727	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) A ) = A )
12		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( u = ( 0g ` G ) -> ( u .(+) A ) = ( ( 0g ` G ) .(+) A ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( u = ( 0g ` G ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( 0g ` G ) .(+) A ) = A ) )
14	13, 1	elrab2 3366	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. H <-> ( ( 0g ` G ) e. X /\ ( ( 0g ` G ) .(+) A ) = A ) )
15	10, 11, 14	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. H )
16		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. H -> H =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H =/= (/) )
18		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
19	18, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> G e. Grp )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> x e. H )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( u .(+) A ) = ( x .(+) A ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( x .(+) A ) = A ) )
23	22, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. H <-> ( x e. X /\ ( x .(+) A ) = A ) )
24	20, 23	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( x e. X /\ ( x .(+) A ) = A ) )
25	24	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> x e. X )
26	25	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> x e. X )
27		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> y e. H )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = y -> ( u .(+) A ) = ( y .(+) A ) )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = y -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( y .(+) A ) = A ) )
30	29, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H <-> ( y e. X /\ ( y .(+) A ) = A ) )
31	27, 30	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( y e. X /\ ( y .(+) A ) = A ) )
32	31	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> y e. X )
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
34	7, 33	grpcl 17430	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. X )
35	19, 26, 32, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. X )
36		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> A e. Y )
37	7, 33	gaass 17730	. . . . . . . . 9 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( x e. X /\ y e. X /\ A e. Y ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) = ( x .(+) ( y .(+) A ) ) )
38	18, 26, 32, 36, 37	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) = ( x .(+) ( y .(+) A ) ) )
39	31	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( y .(+) A ) = A )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( x .(+) ( y .(+) A ) ) = ( x .(+) A ) )
41	24	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( x .(+) A ) = A )
42	41	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( x .(+) A ) = A )
43	38, 40, 42	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) = A )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( x ( +g ` G ) y ) -> ( u .(+) A ) = ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( u = ( x ( +g ` G ) y ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) = A ) )
46	45, 1	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( ( x ( +g ` G ) y ) e. H <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. X /\ ( ( x ( +g ` G ) y ) .(+) A ) = A ) )
47	35, 43, 46	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. H )
48	47	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) /\ y e. H ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. H )
49	48	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> A. y e. H ( x ( +g ` G ) y ) e. H )
50		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
51	50, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> G e. Grp )
52		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
53	7, 52	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
54	51, 25, 53	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
55		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> A e. Y )
56	7, 52	gacan 17738	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( x e. X /\ A e. Y /\ A e. Y ) ) -> ( ( x .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) = A ) )
57	50, 25, 55, 55, 56	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( ( x .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) = A ) )
58	41, 57	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) = A )
59		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( u = ( ( invg ` G ) ` x ) -> ( u .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) )
60	59	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( u = ( ( invg ` G ) ` x ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) = A ) )
61	60, 1	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. H <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .(+) A ) = A ) )
62	54, 58, 61	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. H )
63	49, 62	jca 554	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ x e. H ) -> ( A. y e. H ( x ( +g ` G ) y ) e. H /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. H ) )
64	63	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> A. x e. H ( A. y e. H ( x ( +g ` G ) y ) e. H /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. H ) )
65	7, 33, 52	issubg2 17609	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( H e. (SubGrp ` G ) <-> ( H C_ X /\ H =/= (/) /\ A. x e. H ( A. y e. H ( x ( +g ` G ) y ) e. H /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. H ) ) ) )
66	6, 65	syl 17	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> ( H e. (SubGrp ` G ) <-> ( H C_ X /\ H =/= (/) /\ A. x e. H ( A. y e. H ( x ( +g ` G ) y ) e. H /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. H ) ) ) )
67	4, 17, 64, 66	mpbir3and 1245	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  gastacos  17743  orbstafun  17744  orbstaval  17745  orbsta  17746  orbsta2  17747  sylow1lem5  18017