Theorem sylow2alem2 18033

Description: Lemma for sylow2a 18034. All the orbits which are not for fixed points have size | G | / | G x | (where G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2a.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2a.m	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
sylow2a.p	|- ( ph -> P pGrp G )
sylow2a.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2a.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
sylow2a.z	|- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
sylow2a.r	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow2alem2	|- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Distinct variable groups:   z, h, .~   g, h, u, x, y   g, G, x, y   z, P   .(+) , g, h, u, x, y   g, X, h, u, x, y   z, Z   ph, h, z   z, g, Y, h, u, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u, g)   P( x, y, u, g, h)   .(+) ( z)   .~ ( x, y, u, g)   G( z, u, h)   X( z)   Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2

Dummy variables k n w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2a.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
2		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( Y e. Fin <-> ~P Y e. Fin )
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ~P Y e. Fin )
4		sylow2a.m	. . . . . 6 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
5		sylow2a.r	. . . . . . 7 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
6		sylow2a.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
7	5, 6	gaorber 17741	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er Y )
9	8	qsss 7808	. . . 4 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) C_ ~P Y )
10		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ~P Y e. Fin /\ ( Y /. .~ ) C_ ~P Y ) -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
11	3, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
12		diffi 8192	. . 3 |- ( ( Y /. .~ ) e. Fin -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
14		sylow2a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp G )
15		gagrp 17725	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
17		sylow2a.f	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
18	6	pgpfi 18020	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin ) -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) )
21	20	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
22		prmz 15389	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
23	21, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> P e. ZZ )
24		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) -> z e. ( Y /. .~ ) )
25	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> Y e. Fin )
26	9	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. ~P Y )
27	26	elpwid 4170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z C_ Y )
28		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Fin /\ z C_ Y ) -> z e. Fin )
29	25, 27, 28	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. Fin )
30	24, 29	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> z e. Fin )
31		hashcl 13147	. . . 4 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
32	30, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 11480	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
34		eldif 3584	. . 3 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) <-> ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Y /. .~ ) = ( Y /. .~ )
36		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z C_ Z ) )
37		selpw 4165	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~P Z <-> z C_ Z )
38	36, 37	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z e. ~P Z ) )
39	38	notbid 308	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( -. [ w ] .~ C_ Z <-> -. z e. ~P Z ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` z ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( P || ( # ` [ w ] .~ ) <-> P || ( # ` z ) ) )
42	39, 41	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( [ w ] .~ = z -> ( ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) <-> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) ) )
43	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. Prime )
44	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .~ Er Y )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. Y )
46	44, 45	erref 7762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w .~ w )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
48	47, 47	elec 7786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. [ w ] .~ <-> w .~ w )
49	46, 48	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. [ w ] .~ )
50		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. [ w ] .~ -> [ w ] .~ =/= (/) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ =/= (/) )
52	8	ecss 7788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [ w ] .~ C_ Y )
53		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Fin /\ [ w ] .~ C_ Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
54	1, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ w ] .~ e. Fin )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
56		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
58	51, 57	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN )
59		pceq0 15575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
60	43, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
62		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
63	54, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ )
65		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X
66		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. Fin /\ { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X ) -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
67	17, 65, 66	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
68		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ )
71		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ /\ ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
74	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
75	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> X e. Fin )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } = { v e. X | ( v .(+) w ) = w }
77		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) = ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } )
78	6, 76, 77, 5	orbsta2 17747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ w e. Y ) /\ X e. Fin ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
79	74, 45, 75, 78	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
80	73, 79	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) )
81	20	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
83		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
84	83	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
85	84	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
86	80, 82, 85	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) )
87		pcprmpw2 15586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
88	43, 58, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) )
90	89	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( # ` [ w ] .~ ) )
91	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. ZZ )
92	91	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. CC )
93	92	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
94		hash1 13192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` 1o ) = 1
95	93, 94	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = ( # ` 1o ) )
96	90, 95	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) ) )
97		df1o2 7572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
98		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. Fin
99	97, 98	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. Fin
100		hashen 13135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ w ] .~ e. Fin /\ 1o e. Fin ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
101	55, 99, 100	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
102	96, 101	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
103		en1b 8024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ ~~ 1o <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
104	102, 103	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) )
105	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. Y )
106	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
107	6	gaf 17728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
109		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> h e. X )
110	108, 109, 105	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. Y )
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h .(+) w ) = ( h .(+) w )
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = h -> ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
113	112	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) <-> ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
114	113	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h e. X /\ ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
115	109, 111, 114	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
116	5	gaorb 17740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w .~ ( h .(+) w ) <-> ( w e. Y /\ ( h .(+) w ) e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
117	105, 110, 115, 116	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w .~ ( h .(+) w ) )
118		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h .(+) w ) e. _V
119	118, 47	elec 7786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ <-> w .~ ( h .(+) w ) )
120	117, 119	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ )
121		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
122	120, 121	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } )
123	118	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } <-> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
124	122, 123	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
125	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. [ w ] .~ )
126	125, 121	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. { U. [ w ] .~ } )
127	47	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { U. [ w ] .~ } <-> w = U. [ w ] .~ )
128	126, 127	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w = U. [ w ] .~ )
129	124, 128	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = w )
130	129	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ h e. X ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> ( h .(+) w ) = w ) )
131	130	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
132	104, 131	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
133	61, 132	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
134	60, 133	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
135		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( h .(+) u ) = ( h .(+) w ) )
136		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> u = w )
137	135, 136	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = w -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( h .(+) w ) = w ) )
138	137	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( A. h e. X ( h .(+) u ) = u <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
139		sylow2a.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
140	138, 139	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z <-> ( w e. Y /\ A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
141	140	baib 944	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Y -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
142	141	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
143	134, 142	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> w e. Z ) )
144	6, 4, 14, 17, 1, 139, 5	sylow2alem1 18032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ = { w } )
145		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
146	145	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { w } C_ Z )
147	144, 146	eqsstrd 3639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ C_ Z )
148	147	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
150	143, 149	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> [ w ] .~ C_ Z ) )
151	150	con1d 139	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
152	35, 42, 151	ectocld 7814	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) )
153	152	impr 649	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
154	34, 153	sylan2b 492	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
155	13, 23, 33, 154	fsumdvds 15030	1 |- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422   ~_QG cqg 17590   GrpAct cga 17722   pGrp cpgp 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950

This theorem is referenced by:  sylow2a  18034