Theorem gchac 9503

Description: The Generalized Continuum Hypothesis implies the Axiom of Choice. The original proof is due to Sierpiński (1947); we use a refinement of Sierpiński's result due to Specker. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchac	|- (GCH = _V -> CHOICE )

Proof of Theorem gchac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
2		omex 8540	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
3	1, 2	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( x u. om ) e. _V
4		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- om C_ ( x u. om )
5		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9 |- ( ( x u. om ) e. _V -> ( om C_ ( x u. om ) -> om ~<_ ( x u. om ) ) )
6	3, 4, 5	mp2 9	. . . . . . . 8 |- om ~<_ ( x u. om )
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- (GCH = _V -> om ~<_ ( x u. om ) )
8		id 22	. . . . . . . 8 |- (GCH = _V -> GCH = _V )
9	3, 8	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- (GCH = _V -> ( x u. om ) e. GCH )
10	3	pwex 4848	. . . . . . . 8 |- ~P ( x u. om ) e. _V
11	10, 8	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- (GCH = _V -> ~P ( x u. om ) e. GCH )
12		gchacg 9502	. . . . . . 7 |- ( ( om ~<_ ( x u. om ) /\ ( x u. om ) e. GCH /\ ~P ( x u. om ) e. GCH ) -> ~P ( x u. om ) e. dom card )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- (GCH = _V -> ~P ( x u. om ) e. dom card )
14	3	canth2 8113	. . . . . . 7 |- ( x u. om ) ~< ~P ( x u. om )
15		sdomdom 7983	. . . . . . 7 |- ( ( x u. om ) ~< ~P ( x u. om ) -> ( x u. om ) ~<_ ~P ( x u. om ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( x u. om ) ~<_ ~P ( x u. om )
17		numdom 8861	. . . . . 6 |- ( ( ~P ( x u. om ) e. dom card /\ ( x u. om ) ~<_ ~P ( x u. om ) ) -> ( x u. om ) e. dom card )
18	13, 16, 17	sylancl 694	. . . . 5 |- (GCH = _V -> ( x u. om ) e. dom card )
19		ssun1 3776	. . . . 5 |- x C_ ( x u. om )
20		ssnum 8862	. . . . 5 |- ( ( ( x u. om ) e. dom card /\ x C_ ( x u. om ) ) -> x e. dom card )
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . . 4 |- (GCH = _V -> x e. dom card )
22	1	a1i 11	. . . 4 |- (GCH = _V -> x e. _V )
23	21, 22	2thd 255	. . 3 |- (GCH = _V -> ( x e. dom card <-> x e. _V ) )
24	23	eqrdv 2620	. 2 |- (GCH = _V -> dom card = _V )
25		dfac10 8959	. 2 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
26	24, 25	sylibr 224	1 |- (GCH = _V -> CHOICE )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   cardccrd 8761  CHOICEwac 8938  GCHcgch 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-har 8463  df-wdom 8464  df-cnf 8559  df-card 8765  df-ac 8939  df-cda 8990  df-fin4 9109  df-gch 9443

This theorem is referenced by: (None)