Theorem gchcda1 9478

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchcda1	|- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A +c 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem gchcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7719	. . . . . 6 |- 1o e. om
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> 1o e. om )
3		cdadom3 9010	. . . . 5 |- ( ( A e. GCH /\ 1o e. om ) -> A ~<_ ( A +c 1o ) )
4	2, 3	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> A ~<_ ( A +c 1o ) )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
6		nnfi 8153	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. Fin -> 1o e. Fin )
8		fidomtri2 8820	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. GCH /\ 1o e. Fin ) -> ( A ~<_ 1o <-> -. 1o ~< A ) )
9	7, 8	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A ~<_ 1o <-> -. 1o ~< A ) )
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> 1o e. Fin )
11		domfi 8181	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1o e. Fin /\ A ~<_ 1o ) -> A e. Fin )
12	11	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. Fin -> ( A ~<_ 1o -> A e. Fin ) )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A ~<_ 1o -> A e. Fin ) )
14	9, 13	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( -. 1o ~< A -> A e. Fin ) )
15	5, 14	mt3d 140	. . . . 5 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> 1o ~< A )
16		canthp1 9476	. . . . 5 |- ( 1o ~< A -> ( A +c 1o ) ~< ~P A )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A +c 1o ) ~< ~P A )
18	4, 17	jca 554	. . 3 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A ~<_ ( A +c 1o ) /\ ( A +c 1o ) ~< ~P A ) )
19		gchen1 9447	. . 3 |- ( ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) /\ ( A ~<_ ( A +c 1o ) /\ ( A +c 1o ) ~< ~P A ) ) -> A ~~ ( A +c 1o ) )
20	18, 19	mpdan 702	. 2 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> A ~~ ( A +c 1o ) )
21	20	ensymd 8007	1 |- ( ( A e. GCH /\ -. A e. Fin ) -> ( A +c 1o ) ~~ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   +c ccda 8989  GCHcgch 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-gch 9443

This theorem is referenced by:  gchinf  9479  gchcdaidm  9490  gchpwdom  9492