Theorem gsmsymgreqlem1 17850

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 17852. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	|- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b	|- B = ( Base ` S )
gsmsymgreq.z	|- Z = ( SymGrp ` M )
gsmsymgreq.p	|- P = ( Base ` Z )
gsmsymgreq.i	|- I = ( N i^i M )

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) ) )

Distinct variable groups:   n, I   n, X   C, n   n, J   R, n   S, n   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   B( n)   P( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> C e. B )
2		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P ) -> R e. P )
3	1, 2	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
4	3	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
7		simpll3 1102	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> J e. I )
8		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
10		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) )
11	7, 9, 10	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) )
12		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 |- S = ( SymGrp ` N )
13		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
14		gsmsymgreq.z	. . . . 5 |- Z = ( SymGrp ` M )
15		gsmsymgreq.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` Z )
16		gsmsymgreq.i	. . . . 5 |- I = ( N i^i M )
17	12, 13, 14, 15, 16	fvcosymgeq 17849	. . . 4 |- ( ( C e. B /\ R e. P ) -> ( ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) ) )
18	6, 11, 17	sylc 65	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
19		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> N e. Fin )
20		simpr1l 1118	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> X e. Word B )
21		simpr1r 1119	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> C e. B )
22	19, 20, 21	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
23	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
24	12, 13	gsumccatsymgsn 17846	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) -> ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
26	25	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) )
27		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> M e. Fin )
28		simpr2l 1120	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> Y e. Word P )
29		simpr2r 1121	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> R e. P )
30	27, 28, 29	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
31	30	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
32	14, 15	gsumccatsymgsn 17846	. . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) -> ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
33	31, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
34	33	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
35	18, 26, 34	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) )
36	35	ex 450	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  17851