Theorem gsumbagdiaglem 19375

Description: Lemma for gsumbagdiag 19376. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.1	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.i	|- ( ph -> I e. V )
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiaglem	|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, F   x, V, y   f, I, x, y   x, S   x, D, y   f, X, x, y   f, Y, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   D( f)   S( y, f)   V( f)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } )
2		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x oR <_ ( F oF - X ) <-> Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
3	2	elrab 3363	. . . . 5 |- ( Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
4	1, 3	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
5	4	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. D )
6	4	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ ( F oF - X ) )
7		gsumbagdiag.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> I e. V )
9		gsumbagdiag.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. D )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F e. D )
11		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. S )
12		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
13		psrbagconf1o.1	. . . . . . . . . 10 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
14	12, 13	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
15	11, 14	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. D )
17		psrbag.d	. . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
18	17	psrbagf 19365	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
19	8, 16, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X : I --> NN0 )
20	15	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ F )
21	17	psrbagcon 19371	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
22	8, 10, 19, 20, 21	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
23	22	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) oR <_ F )
24	17	psrbagf 19365	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
25	8, 5, 24	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y : I --> NN0 )
26	22	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) e. D )
27	17	psrbagf 19365	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - X ) e. D ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
28	8, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
29	17	psrbagf 19365	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
30	8, 10, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F : I --> NN0 )
31		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( u e. NN0 -> u e. RR )
32		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( v e. NN0 -> v e. RR )
33		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
34		letr 10131	. . . . . . 7 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ w e. RR ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3an 1368	. . . . . 6 |- ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
36	35	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
37	8, 25, 28, 30, 36	caoftrn 6932	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( Y oR <_ ( F oF - X ) /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) -> Y oR <_ F ) )
38	6, 23, 37	mp2and 715	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ F )
39		breq1 4656	. . . 4 |- ( y = Y -> ( y oR <_ F <-> Y oR <_ F ) )
40	39, 13	elrab2 3366	. . 3 |- ( Y e. S <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ F ) )
41	5, 38, 40	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. S )
42	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
43	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
44	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
45		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. RR )
46		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. RR )
47		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. RR )
48		leaddsub2 10505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
49		leaddsub 10504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
50	48, 49	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
51	45, 46, 47, 50	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 /\ ( F ` z ) e. NN0 ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
52	42, 43, 44, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
53	52	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
54		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
55	25	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
56		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
57	30, 56	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F Fn I )
58		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( X : I --> NN0 -> X Fn I )
59	19, 58	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X Fn I )
60		inidm 3822	. . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
61		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
62		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) = ( X ` z ) )
63	57, 59, 8, 8, 60, 61, 62	offval 6904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
64	8, 43, 54, 55, 63	ofrfval2 6915	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
65		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) e. _V )
66	19	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
67		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( Y : I --> NN0 -> Y Fn I )
68	25, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y Fn I )
69		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) = ( Y ` z ) )
70	57, 68, 8, 8, 60, 61, 69	offval 6904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - Y ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
71	8, 42, 65, 66, 70	ofrfval2 6915	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X oR <_ ( F oF - Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
72	53, 64, 71	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
73	6, 72	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ ( F oF - Y ) )
74		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( F oF - Y ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
75	74	elrab 3363	. . 3 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
76	16, 73, 75	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } )
77	41, 76	jca 554	1 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  19376  psrass1lem  19377