Theorem psrbagconf1o 19374

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.1	|- S = { y e. D | y oR <_ F }

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) : S -1-1-onto-> S )

Distinct variable groups:   x, f, y, F   x, V, y   f, I, x, y   x, S   x, D, y

Allowed substitution hints:   D( f)   S( y, f)   V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) = ( x e. S |-> ( F oF - x ) )
2		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> I e. V )
3		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> F e. D )
4		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x e. S )
5		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y oR <_ F <-> x oR <_ F ) )
6		psrbagconf1o.1	. . . . . . . 8 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
7	5, 6	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( x e. S <-> ( x e. D /\ x oR <_ F ) )
8	4, 7	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( x e. D /\ x oR <_ F ) )
9	8	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x e. D )
10		psrbag.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
11	10	psrbagf 19365	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
12	2, 9, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x : I --> NN0 )
13	8	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x oR <_ F )
14	10	psrbagcon 19371	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ x : I --> NN0 /\ x oR <_ F ) ) -> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) )
15	2, 3, 12, 13, 14	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) )
16		breq1 4656	. . . 4 |- ( y = ( F oF - x ) -> ( y oR <_ F <-> ( F oF - x ) oR <_ F ) )
17	16, 6	elrab2 3366	. . 3 |- ( ( F oF - x ) e. S <-> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) )
18	15, 17	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( F oF - x ) e. S )
19	18	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> A. x e. S ( F oF - x ) e. S )
20		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = z -> ( F oF - x ) = ( F oF - z ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( F oF - x ) e. S <-> ( F oF - z ) e. S ) )
22	21	rspccva 3308	. . 3 |- ( ( A. x e. S ( F oF - x ) e. S /\ z e. S ) -> ( F oF - z ) e. S )
23	19, 22	sylan 488	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ z e. S ) -> ( F oF - z ) e. S )
24	10	psrbagf 19365	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> F : I --> NN0 )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( F ` n ) e. NN0 )
27		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> I e. V )
28		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. D | y oR <_ F } C_ D
29	6, 28	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- S C_ D
30		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
31	29, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. D )
32	10	psrbagf 19365	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ z e. D ) -> z : I --> NN0 )
33	27, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z : I --> NN0 )
34	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( z ` n ) e. NN0 )
35	12	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x : I --> NN0 )
36	35	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 )
37		nn0cn 11302	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. NN0 -> ( F ` n ) e. CC )
38		nn0cn 11302	. . . . . . . 8 |- ( ( z ` n ) e. NN0 -> ( z ` n ) e. CC )
39		nn0cn 11302	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC )
40		subsub23 10286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` n ) e. CC /\ ( z ` n ) e. CC /\ ( x ` n ) e. CC ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` n ) e. NN0 /\ ( z ` n ) e. NN0 /\ ( x ` n ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) )
42	26, 34, 36, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) )
43		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) )
44		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) )
45	42, 43, 44	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) <-> ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
46		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
47	25, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> F Fn I )
48		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( z : I --> NN0 -> z Fn I )
49	33, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z Fn I )
50		inidm 3822	. . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
51		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( F ` n ) = ( F ` n ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( z ` n ) = ( z ` n ) )
53	47, 49, 27, 27, 50, 51, 52	ofval 6906	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( F oF - z ) ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) )
54	53	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) ) )
55		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( x : I --> NN0 -> x Fn I )
56	35, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x Fn I )
57		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) = ( x ` n ) )
58	47, 56, 27, 27, 50, 51, 57	ofval 6906	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( F oF - x ) ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) )
59	58	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) <-> ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
60	45, 54, 59	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) )
61	60	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) )
62	23	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) e. S )
63	29, 62	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) e. D )
64	10	psrbagf 19365	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - z ) e. D ) -> ( F oF - z ) : I --> NN0 )
65	27, 63, 64	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) : I --> NN0 )
66		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( F oF - z ) : I --> NN0 -> ( F oF - z ) Fn I )
67	65, 66	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) Fn I )
68		eqfnfv 6311	. . . 4 |- ( ( x Fn I /\ ( F oF - z ) Fn I ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) ) )
69	56, 67, 68	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) ) )
70	18	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) e. S )
71	29, 70	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) e. D )
72	10	psrbagf 19365	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - x ) e. D ) -> ( F oF - x ) : I --> NN0 )
73	27, 71, 72	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) : I --> NN0 )
74		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( F oF - x ) : I --> NN0 -> ( F oF - x ) Fn I )
75	73, 74	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) Fn I )
76		eqfnfv 6311	. . . 4 |- ( ( z Fn I /\ ( F oF - x ) Fn I ) -> ( z = ( F oF - x ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) )
77	49, 75, 76	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( z = ( F oF - x ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) )
78	61, 69, 77	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> z = ( F oF - x ) ) )
79	1, 18, 23, 78	f1o2d 6887	1 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) : S -1-1-onto-> S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  psrass1lem  19377  psrcom  19409  psropprmul  19608