Theorem hashgt12el 13210

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el	|- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b )

Distinct variable groups:   W, a   V, a, b

Allowed substitution hint:   W( b)

Proof of Theorem hashgt12el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 13158	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
2		fveq2 6191	. . . 4 |- ( (/) = V -> ( # ` (/) ) = ( # ` V ) )
3	1, 2	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( (/) = V -> 0 = ( # ` V ) )
4		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` V ) = 0 -> ( 1 < ( # ` V ) <-> 1 < 0 ) )
5	4	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( # ` V ) = 0 -> ( 1 < ( # ` V ) -> 1 < 0 ) )
6	5	eqcoms 2630	. . . . . 6 |- ( 0 = ( # ` V ) -> ( 1 < ( # ` V ) -> 1 < 0 ) )
7		0le1 10551	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
8		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
10	8, 9	lenlti 10157	. . . . . . . 8 |- ( 0 <_ 1 <-> -. 1 < 0 )
11		pm2.21 120	. . . . . . . 8 |- ( -. 1 < 0 -> ( 1 < 0 -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
12	10, 11	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ 1 -> ( 1 < 0 -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 < 0 -> E. a e. V E. b e. V a =/= b )
14	6, 13	syl6com 37	. . . . 5 |- ( 1 < ( # ` V ) -> ( 0 = ( # ` V ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> ( 0 = ( # ` V ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
16	15	com12 32	. . 3 |- ( 0 = ( # ` V ) -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
17	3, 16	syl 17	. 2 |- ( (/) = V -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
18		df-ne 2795	. . . 4 |- ( (/) =/= V <-> -. (/) = V )
19		necom 2847	. . . 4 |- ( (/) =/= V <-> V =/= (/) )
20	18, 19	bitr3i 266	. . 3 |- ( -. (/) = V <-> V =/= (/) )
21		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. a e. V -. E. b e. V a =/= b <-> -. E. a e. V E. b e. V a =/= b )
22		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. V -. a =/= b <-> -. E. b e. V a =/= b )
23		nne 2798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. a =/= b <-> a = b )
24		equcom 1945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b <-> b = a )
25	23, 24	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. a =/= b <-> b = a )
26	25	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. V -. a =/= b <-> A. b e. V b = a )
27	22, 26	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. b e. V a =/= b <-> A. b e. V b = a )
28	27	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. a e. V -. E. b e. V a =/= b <-> A. a e. V A. b e. V b = a )
29	21, 28	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( -. E. a e. V E. b e. V a =/= b <-> A. a e. V A. b e. V b = a )
30		eqsn 4361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V =/= (/) -> ( V = { a } <-> A. b e. V b = a ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( V = { a } <-> A. b e. V b = a ) )
32	31	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. b e. V b = a <-> V = { a } ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. a e. V A. b e. V b = a <-> A. a e. V V = { a } ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V = { a } -> ( # ` V ) = ( # ` { a } ) )
35		hashsnle1 13205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { a } ) <_ 1
36	34, 35	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 )
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. W /\ a e. V ) -> ( V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
38	37	reximdva0 3933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> E. a e. V ( V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
39		r19.36v 3085	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. V ( V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 ) -> ( A. a e. V V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. a e. V V = { a } -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
41	33, 40	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. a e. V A. b e. V b = a -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
42		hashxrcl 13148	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. W -> ( # ` V ) e. RR* )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( # ` V ) e. RR* )
44	9	rexri 10097	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR*
45		xrlenlt 10103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` V ) e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` V ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` V ) ) )
47	41, 46	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. a e. V A. b e. V b = a -> -. 1 < ( # ` V ) ) )
48	29, 47	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( -. E. a e. V E. b e. V a =/= b -> -. 1 < ( # ` V ) ) )
49	48	con4d 114	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( 1 < ( # ` V ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
50	49	impancom 456	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> ( V =/= (/) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
51	50	com12 32	. . 3 |- ( V =/= (/) -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
52	20, 51	sylbi 207	. 2 |- ( -. (/) = V -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b ) )
53	17, 52	pm2.61i 176	1 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) ) -> E. a e. V E. b e. V a =/= b )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ring1ne0  18591  frgrwopreglem5  27185  frgrwopreglem5ALT  27186