Theorem iccpartdisj 41373

Description: The segments of a partitioned half opened interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartiun.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartdisj	|- ( ph -> Disj i e. ( 0..^ M ) ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i

Proof of Theorem iccpartdisj

Dummy variables j p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ph
2		nfreu1 3110	. . . . 5 |- F/ i E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ph )
4		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> M e. NN )
6		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
8		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
9		0elfz 12436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... M ) )
10	4, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
12	5, 7, 11	iccpartxr 41355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` 0 ) e. RR* )
13		nn0fz0 12437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( 0 ... M ) )
14	13	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. ( 0 ... M ) )
15	4, 8, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> M e. ( 0 ... M ) )
17	5, 7, 16	iccpartxr 41355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
18	4, 6	iccpartgel 41365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` 0 ) <_ ( P ` j ) )
19		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = i -> ( P ` j ) = ( P ` i ) )
22	21	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = i -> ( ( P ` 0 ) <_ ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) ) )
23	22	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` 0 ) <_ ( P ` j ) -> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` 0 ) <_ ( P ` j ) -> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) ) )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` 0 ) <_ ( P ` j ) -> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) ) ) )
26	18, 25	mpid 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) )
28	4, 6	iccpartleu 41364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` j ) <_ ( P ` M ) )
29		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( P ` j ) <_ ( P ` M ) <-> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) )
33	32	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` j ) <_ ( P ` M ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` j ) <_ ( P ` M ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( A. j e. ( 0 ... M ) ( P ` j ) <_ ( P ` M ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) ) )
36	28, 35	mpid 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) )
38		icossico 12243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR* /\ ( P ` M ) e. RR* ) /\ ( ( P ` 0 ) <_ ( P ` i ) /\ ( P ` ( i + 1 ) ) <_ ( P ` M ) ) ) -> ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( P ` 0 ) [,) ( P ` M ) ) )
39	12, 17, 27, 37, 38	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( P ` 0 ) [,) ( P ` M ) ) )
40	39	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> p e. ( ( P ` 0 ) [,) ( P ` M ) ) ) )
41	4, 6	icceuelpart 41372	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( ( P ` 0 ) [,) ( P ` M ) ) ) -> E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
42	3, 40, 41	syl6an 568	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
44	1, 2, 43	rexlimd 3026	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) )
45		rmo5 3162	. . . 4 |- ( E* i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( E. i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> E! i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) )
46	44, 45	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> E* i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
47	46	alrimiv 1855	. 2 |- ( ph -> A. p E* i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
48		df-disj 4621	. 2 |- (Disj i e. ( 0..^ M ) ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) <-> A. p E* i e. ( 0..^ M ) p e. ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
49	47, 48	sylibr 224	1 |- ( ph -> Disj i e. ( 0..^ M ) ( ( P ` i ) [,) ( P ` ( i + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   C_ wss 3574  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   [,)cico 12177   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350

This theorem is referenced by: (None)